2017年苏州大学数学综合之高等代数复试仿真模拟三套题
● 摘要
一、分析计算题
1． 以P3X3表示数域P 上所有三阶矩阵组成的线性空间. 求所有与AB=BA）的矩阵B 组成的线性子空间的维数及一组基.
【答案】因为
记
则
从而
设
则
叮交换（即满足
所以B 生成的线性子空间的维数为3, 且它的一组基为
2． 已知的线性变换为
（1）自选的一组基，求在该基下的矩阵. （2）求
及
的基.
则
且
是
' 的基，且是
的基.
是其基.
【答案】（1）取的基故在基
的矩阵是
（2）由（1）知由则
3． 计算范德蒙行列式
【答案】由行列式的定义知
是
次齐次对称多项式. 当
时，
由因式定理得
易知a=l, 故
4． 设
证明：
则有
即有故
又对时总有
即
有
故证明：
的
故
又若
由
则有
故
【答案】（1
）任意
. 即这就证明了（2）任意对
5． 设实二次型秩等于矩阵
由
显然有
自然有
的秩.
【答案】方法1设矩阵A 的秩等于r , 将变量的足标及平方项的次序作适当调换. 可设A 的左上角r 级子式 不为0. 于是A 的前r 行线性无关，后
作可逆线性替换
行都是前r 行的线性组合.
原二次型化为
其中
都是
的一次齐次式. 考虑都有
因此这是所以原二
次型的秩也等于r. 方法
2
17题
的二次型
因为对不全为0的
的一个正定二次型，作为的二次型，它的秩为r.
这个二次型的矩阵是由