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一、分析计算题

1． 已知3阶矩阵A 的特征值为1, -1, 2, 设矩阵

（1）矩阵B 的特征值及其标准形，并说明理由； （2）行列式

特征向量是线性无关的，

令

（I 为3阶单位阵）.

由于不同特征值的

则T 为可逆阵，且

所以

上式说明：B 有特征值-4，-6，-12, 且B 的相似标准形为对角阵①. （2）由①得

2． 求下列曲线的直角坐标方程：

（1）（2）

【答案】（1）把方程写成

（x , y ）是由某代入上述方程组算出的解，当且仅当这对（x , y）使上述联立方程组有某公共根t 0, 也当 且仅当x , y满足下列结式

这就是所求曲线满足的方程.

（2）把参数方程写成下列联立方程组

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试求：

【答案】（1）设A 相应于特征值为1，-1，2的特征向量分别为

与（1）中所述的同样理由，曲线上的点（x ，y ）所满足的方程为

3．

矩阵A 的秩为r ，则有【答案】A 的秩为r ，有

的列满秩矩阵P 和可逆阵及

可逆阵

的行满秩矩阵Q ，使使

其中

P ，Q 分别是列满秩和行满秩矩阵.

4． 计算行列式

【答案】从D 的最后一列开始，每列都减去前一列，然后再将第一行加到其余各行，得

再将第一列依次与第的上三角形行列式. 因此，

5． 证明：

【答案】因为所以

列交换，即得一个主对角线上元素为

的首项系数为1.

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是

设则

因此根据上题，首项系数为1. 因此

是

的一个公因式.

的一个公因式. 又因

的

的首项系数为1. 所以

6． 设V 是数域P 上线性空间，是V 上线性变换，

（1）（2）若【答案】（1）所以

且由则

则

知

此即（2）因为从而有（i ）先证

有

其中此即故

同理，有

此即

再由①，⑥得证④式. （ii ）再证

有

于是由有

即证⑦式成立再由④，⑦即证②式成立.

7． 设c 实数

，是实数域上的n 维列向量

，阵.

【答案】证法1:显然B 为对称阵，且

时，

旺明：n 级矩阵

且由③可得

故

故①式成立.

所以存在

有

证明：

为实正定矩

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