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一、分析计算题

1． 证明：如果多项式f （x ）对任何数a , b都有数.

【答案】证法I 若设因为若

，则对

由

則结论显然. 故下设. 且

则由

得

比较两端因此证法II

若

得：

即

2． 证明：如果A 是正定矩阵，那么

也是正定矩阵.

也是

_

的系数，得

得证.

的次

数

则必

有

因为若不然，则

由于是又得

矛盾. 这样，f （x ）在复数域中必有根

都是矛盾.

知，

下再证n=l.

其中k 为一常

的根. 如此下去，

可知

的根. 这显然不可能. 故必n=l

即

【答案】如果A 是正定矩阵，那么有可逆矩阵C 使

则

即

也是正定矩阵.

3． 证明：酉矩阵的特征根的模为1.

【答案】设A 是一个酉矩阵，于是

因为

所以

即A 的特征根的模为1.

是V 的一个基，用％表示由

：

4． 设V 是数域K 上一个n 维线性空间，生成的线性子空间，令

是A 的一个特征根，是对应于的一个特征向量，即

（1）证明:（2）证明:

是V 的子空间；

下的矩阵A 是置换阵（即A 的每一行与每与

都是A 的不变子空间.

（3）设V 上一个线性变换A 在基

一列都只有一个元素是1，其余元素全为0）. 证明：

【答案】（1）显然又

有

（因为

（因为所以以

dim

（3）

因为是

A 是置换阵，则

的一个排列），所以

也是

是四维线性空间V 的一组基，线性变换

子空间.

是V 的子空间.

又显然有

即

是直和，

且

所

（2

）因为

此说明又 5． 设

子空间.

在这组基下的矩阵为

（1）求在基

下的矩阵； （2）求

的特征值与特征向量；

（3）求一可逆矩阵T ，使【答案】⑴

成对角形.

在

下的矩阵为

（2）

特征值为

则

满足方程组

属于特征值0的特征向量设为

（1, 0, 0, 0）及（0, 1, 0, 0）是它的一组基础解系. 属于特征值0的全部特征向量为

取不全为零的任意数值.

属于特征值1的特征向量设为

则

满足方程组