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一、分析计算题

1． 设A ，B ，C 是

并计算E+ADB=?

【答案】（E-BA ）D=（E-BA ）（E+BCA） =E-BA+BCA-BABCA=E-BA+B（E-AB ）CA =E-BA+BA=E，

又D （E-BA ）=（E+BCA）（E-BA ）=E-BA+BCA-BCABA =E-BA+BC（E-AB ）A=E-BA+BA=E.

又由C （E-AB ）=（E-AB ）C=E，得E+CAB=E+ABC=C.则E+ADB=E+A（E+BCA）B=E+AB+ABCAB=E+AB

（E+CAB）=E+ABC=C，故E+ADB=C.

2． 设f （x ）为任一多项式. 证明：

除以再求f （x ）除以【答案】①设②解法I 设令

得

但因为

故

因此，所求余式为

解法II 设

则

故由此得

将（12）代入（11）, 得

由此即得（10）.

3． 设a 为欧氏空间V 中的一个非零向量，

是V 中p 个向量，满足

所得余数为

所得的余式.

即得

方阵，

试证：

证明:（1）

【答案】（1）反证法. 设有实数

使

将其中具有正系数于

因此

是

线性无关；

个向量，使其两两夹角都大于

线性相关. 不妨设

将这关系式改写成

的项归入因

具有负系数的项归在

及

故

但

下. 且令

是

的线性组合，即

（2）n 维欧氏空间中最多有

另一方面

这个矛盾证明了所要的结论. （2）设取

则

它们两两成钝角，于是有

符合第（1）小题的假设条件，

故

线性无关.

又V 是n 维的，有于是

4． 设是有限维线性空间V 的线性变换，W 是V 的子空间. 子空间. 证明

：

【答案】取因

的一组基

把它扩充成W 的一组基

故设

于是

使

或

又由了

线性无关，故

线性无关，因而是

的一组基. 现在

表示由W 中向量的像组成的

它又须是的线性组合，就有一组数

特别地

证明

5． 设V 是数域K 上的n 维线性空间，

（1）存在

使得

使）

知

则令

是基，结论得证. 不然，

若

则

（2）存在V 中的一组基（

2

）

由

（

1

是V 的S 个真子空间，证明：

故

的真子空间，

使

线

性

无故

关

，

且

【答案】（1）由有限不覆盖定理，

线性无关.

是V 的基，结论得证，不然重复

上面的步骤，并如此进行下去，得到基

6． 求可逆方阵P 使

其中

【答案】易知化.

对应三个特征值分别解齐次线性方程组：

各得一特征向量

若令

则

又易知可得特征向量

则

由（10），（11）知，若令

即 同理，解

令

A 的三个特征值1，2, 3互异，故A 可对角