当前位置：问答库＞考研试题

一、分析计算题

1． 设

为三阶方阵A 的特征值，且对应的特征向量分别为以下三个向量，求

A.

【答案】因为A 是三阶方阵且三个特征值互异，故其所对应的 三个特征向量线性无关. 现以其作列得可逆方阵

并且A 可对角化，即有

从而

2． 设

证明： （1）

（2）任意多项式f （x ）用【答案】（1）设

是一个次数不超过的多项式，

而且

（2）对任意多项式f （x ）, 设

那么

第 2 页，共 27 页

是n 个不同的数，而

除所得的余式为

所以根据定理

由余式的惟一性及r （x ）（不等于0时）的次数，即得

3． 设

则对于【答案】如

是复系数多项式，其中

的任一复根a 有

故a=0.命题成立. 下面设

对故有

也得到

至此命题得证

4． 设A 为可逆数方阵. 证明：若

【答案】由与从而

是

的根，亦即

5． 已知二次型

（I ）求矩阵A ；

（II ）证明A+E为正定矩阵，其中E 为3阶单位矩阵. 【答案】（I ）由题设，A 特征值为1，1，0，且向量. 设

为A 属于特征值1的特征向量，因为A 的属于不同特征值的特征向量正交，所以

第 3 页，共 27 页

令

由

得

命题已经成立，若则

是多项式

知，’

的根，则

也是的根.

有相同的根. 但是的根，故a 也是的根，即的特征根.

的根.

为A 属于特征值0的一个特征

取

为A 的属于特征值1的两个正交的单位特征向量，并令

则有

故

（II ）由（I ）知A 的特征值为1，1，0，于是A+E的特征值为2，2，1，又A+E为实对称矩阵，故A+E为正定矩阵.

6． 设A 是n 级实对称矩阵. 证明:存在一正实数c 使对任一实n 维向量X 都有

【答案】根据本章习题10, 有正实数是正定矩阵，因此有正实数c 使

.

都是正定矩阵.

于是对任一个n 维实向量X ，都有

因此

从而有

7． 矩阵的列（行）向量组如果是线性无关的，就称该矩阵为列（行）满秩的. 设A 是则A 是列满秩的充分必要条件为存在

可逆阵P 使

同样地，A 为行满秩的充分必要条件为存在【答案】讨论列满秩的情形. 充分性. 设

第 4 页，共 27 页

使

矩阵，

可逆矩阵Q 使