2017年湖南大学金融与统计学院813高等代数考研强化模拟题
● 摘要
一、分析计算题
1． 计算下列n 级行列式：
（1）
（2）
（3）
（4）
（5）
【答案】（1）原行列式
=
（2）当时，为当时，为当时为零.
（3）原行列式=
（4） 原行列式=
（5）
的行元素和必为
2． 如果非奇异n 阶方阵A 的每行元素和均为a ，试证明：
【答案】由假设有
由A 非奇异，从而A 可逆，用
左乘①式两端得
所以此即的行元素和为
3． 设c 实数
，是实数域上的n 维列向量，阵.
【答案】证法1:显然B 为对称阵，且当c>10时，显然，当c<0时，
证完. 证法2:显然又故所以又
故
4． 设V 是实数域上的n 维线性空间，的非零向量都有
（1）（2）【答案】由
是V 的子空间.
分析如能证明二元实函数是V 上的对称双线性函数，
下证非负性成立，
设
时，
显然且
所以非负性成立. 综上所述
是V 的一个内积，V 关于内积
上是V 的子空间，且
是U 的正交补，从而
反之，
在
基
时，
旺明：n 级矩阵
为实正定矩
为实对称矩阵，所以存在正交矩阵P ，使
的特征值均为正数，结合
吋称即得其为正定矩阵.
为V 上的正定的对称双线性函数（即对V 中任意
证明：
U 是V 的有限维子空间，
是V 的一个内积，结论自然成立.
显然有
下的度量矩阵为A , 则A 实对称.
由知A 正定.
因为
构成欧几里得空间. 由U 上的定义知
，
5． 用除/（x ），求商与余式r （x ）:
（1）（2）