2017年湖南大学经济与贸易学院813高等代数考研仿真模拟题
● 摘要
一、分析计算题
1． 设以
【答案】因为所以
因为1不是
的根，所以有
取
则
2． 设
是一个以
为根（即以
为根）的整系数多项式.
为根。
且
是
的根，求一个整系数多项式，使其
为n 阶正定矩阵. 证明：
①以下二次型是负定的：
②③
【答案】①令
是A 的n-1阶顺序主子式）且等号成立且等号成立
为对角矩阵. ，则
两边取行列式，得
对二次型f 施行满秩线性代换X=AY，得
但A 是正定的，②由于
等于
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从而正定而即f 是负定的.
（5）
其中的，因此
为上面第一个行列式. 由于A 正定，故
也正定. 因此由①知，f 是负定
故由（5）得
再由（5）知：当且仅当式成立.
③用
即
时（因为f 负定）以上等
依次表示A 的1，2，…，n-1阶顺序主子式，则由A 正定，
故
均正定. 从而由②得
并由②知，当且仅当
3． 在4元行空间中求
即A 为对角矩阵时以上等号成立. 在以下基下的坐标：
【答案】设以4元行空间的基•
求
为列向量的4阶方阵为A ，易知故确定为
在此基下的坐标，即求线性方程组的解. 但易知（对此方程组的増广矩阵施行初等
行变换，或利用初等行变换求A 的逆方阵）此方程组的解为
故
4． 设
在此基下坐标为
都是行阶矩阵，且
征明：这p 个矩阵秩的和
【答案】由Sylvester 不等式得
故不等式成立.
5． 已知分块形矩阵
【答案】（1）（2）解法1 令
其中
块，
可逆，其中B 为
块.C 为
求B 与C 都可逆，并求
即证B ，C 都可逆.
块. 那么由
可得
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所以C 可逆，由③，④解
得
故
解法2 用广义行初等变换
6． 设V 是数域P 上n 维线性空间. 证明：由V 的全体线性变换组成的线性空间是维的.
【答案】任一
元
故
的.
设V 是P 上n 维线性空间，L （V ）是V 上全体线性变换所成的空间. 给定V
上一组基
任一线性变换与它在该基下的矩阵相对应，这就建立了L （V
）到
射，它是双射，又保持各自的加法和数量乘法，因而是线性空间L （V ）到线性空间由于是同构，它们的维数相同，即L （V ）也是维的. 7． 多项式称为多项式的一个最小公倍式，如果（1）（2）
的任一个公倍式都是，
的倍式. 我们以的首项系数都是1, 那么
【答案】因为
所以如果于是
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将它们代入①，②又B 可逆，可解
得
这组元素是
又
若
是线性无关的. 因此它们是
即
有
的生成元，
于
是
是维
的一组基，从而
上的一个映上的同构.
表示首项系数是1
的那个最小公倍式. 证明：如果
是
是
的公倍式.
的一个公倍式，那么