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一、分析计算题

1． 已知分块形矩阵

【答案】（1）（2）解法1 令

其中

块，

可逆，其中B 为

块.C 为

求B 与C 都可逆，并求

即证B ，C 都可逆.

块. 那么由

可得

所以C 可逆，由③，④解

得

故

解法2 用广义行初等变换

2． 算出行列式

将它们代入①，②又B 可逆，可解

得

（1）

（2）

的全部代数余子式. 【答案】⑴

（2）

3． 证明：只要

就可以适当选择适合等式

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的次数都大于零，

的

与

使

【答案】根据定理2, 有多项式_根据带余除法，有

使

其中

如果

则有

因此

是

再令

于是

下面来证

将上式改写成

因为上式左边的次数等于0. 因此左边两项次数必相等. 而

因此

4． 设A ，B 均为n 阶方阵，A+B=AB，证明：r （A ）=r（B ）.

【答案】由A+B=AB，得

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. 满足

的一个最大公因式.

与题设的次数大于零矛盾.

因此

故类似可得，故r （A ）=r（B ）.

5． 设A 为n 阶实反对称矩阵. 证明：

且当n 为奇数时

当A 可逆时

且

也是反对称矩阵.

是根为0或纯虚数的实系数【答案】①因为A 为实反对称矩阵，故特征多项式多项式，其虚根必成对出现. 现设其全部根为

其中为非零实数. 于是

由于当n 为奇数时至少有一个特征根0, 故

②当A 可逆时，A 不能有特征根0, 故由（2）得

又因为故

也是实反对称矩阵.

6． （1）设

试求

（2）设由下面矩阵级数来定义：

如果

试证：

【答案】（1）设为A 的特征多项式，则

将代入①得

解得

所以

（2）设

由上面②求得

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