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一、分析计算题

1． 设A 与B 是数域P 上的n 级矩阵，且AB=BA, 证明：

【答案】因为

而AB=BA，所以有

故有

即

2． 问：a , b满足何条件时

【答案】由于

故

因此，当2ax+b=0即a=b=0时当

时，用

除.

得

因此，当

，即

时得

故此时f （X ）有重因式，且

3． 设

【答案】

应用辗转相除法可得

所以f （x ）有重因式. 又

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有重因式？

显然有重因式.

，为其2重因式. 判断

是否有重因式，并求

的标准分解式.

所以f （x ）的不可约因式只有重因

式. 因此，

4． 设

证明：

②f （x ）用k （x ）除所得余式为【答案】①因为

的标准分解式是

考虑到可知的4

为n 个互异的数，又

故

若多项式（13）.

②令设

则即

或

即r （x ）为f （x ）被k （x ）除所得的余式.

5． （1）把矩阵

（2）设【答案】⑴

令

则

故

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则其次数但却有n 个互异根矛盾. 从而得

有根

故

其中

表成形式为为一复数矩阵，

与的矩阵的乘积；

的矩阵的乘积.

证明：A 可以表成形式为

现作如下乘积

.

故

已表成所要求的形式.

（2）提示先用所给定的初等变换把A 化成（1）中所述的形状：

先设

则

，又由（1）若

则

则

就化成前一种情形，这时A 也能表成给定类型矩阵的乘积.

6．

已知线性空间

的线性变换

其中

与线性子空间

能表成给定类型矩阵的乘积，故A 也能.

（1）求W 的一个基；

（2）证明：W 是的不变子空间；

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