2017年湖南大学经济与贸易学院813高等代数考研导师圈点必考题汇编
● 摘要
一、分析计算题
1． 证明：向量组表示.
【答案】设向量组U ）线性无关. 令
即可由（1）线性表示. 又若卢可由（1）中少于m 个向量线性表示，不妨设
（2）-（3）：这与（1）线性无关矛盾.
反之，设有向量可由（1）线性表示，但不能由（1）少于m 个的向量线性表示，则（1）必线性无关. 因若不然，则（1）中必有向量可由其余向量线性表示，例如，设线性表示，
从而
2． 求
线性表示，矛盾.
^
线性无关的充要条件是，存在向量可由它线性表示，但不能由其中任何少于m 个向量线性
这里是对所有n 级排列求和.
都有
【答案】对每个排列
因为在全部n 级排列中，奇偶排列个数相同，各有个. 所以
3． 设A 是数域K 上的n 阶方阵，又f （x ）与g （x ）为K 上两个互素多项式，证明：n 元齐次线性方程组的直和.
【答案】由于因此，再证
于是得其中
故又若得
则.
是它的导出方程组的一个基础解系，令
证明:线性方程组的任一个解都可表成
其中
令
5． 设
的正惯性指数为P ，秩为r ，证明：【答案】
可改写为
设二次型的矩阵为A ，则
的解空间V 是故由
必有
任取
则
的解空间
都是V 的子空间.
于是
4． 设％是线性方程组的一个解，
【答案】线性方程组的任一
解可表
成
则
p=正惯性指数=n-l，负惯性指数=0. r=（正惯性指数）+（负惯性指数）
=n-1
6． 设P 是一个数域，意
证明:（1）对于（2
）对任意
理想，
且
是
的最大公因式. ，
取
则结论成立. 若这里
由
（2）于是
有
故I 是P[x]的理想.
是P 上的一元多项式环. 称
有
的非空子集I 为
的理想，如果对任
中任意理想I , 存在使得对于任意
是
的
【答案】（1
）若
作带余除法
然，
取I
中次数最低的首一多项式为
则
不
是余式.
只要证
这
与使得
的取法矛盾，
故