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一、证明题

1． 设

相互独立, 服从

证明:

【答案】令

, 则

再令

, 则

令

相互独立, 且

服从

所以变换的雅可比行列式为:

计算该行列式, 可得

因为,

把雅可比行列式代入上式可得

由此可知

2． 设连续随机变量

相互独立, 且

服从

独立同分布, 试证:

【答案】设诸而事件

的密度函数为P （x ）, 其联合密度函数为.

从而该事件的概率为

若记诸

的分布函数为

则上式积分可化为

3． 设分布函数列敛于分布函数F （x ）.

【答案】

对任意的点

:

则有

（1）

这时存在N , 使得当n>N时, 有

对任意的当

时, 有

由（1）, （3）式可得

即有

4． 设数为

, 结论得证.

是来自均匀分布

其中

（2）求的贝叶斯估计. 【答案】（1）同时成立，必须

与

的联合分布为

所以的后验分布为

要使

与

的样本，的先验分布是帕雷托（Pareto ）分布，其密度函是两个己知的常数. 必存在某个i , 使得

由（2）式知,

取M 充分大,

使有当

使有

时,

有

再令

当

时,

有

,

对上述取定的M , 因为F （x ）在闭区间[-M, M]上一致连续, 故可取它的k 个分

弱收敛于连续的分布函数F （x ）, 试证:

在

上一致收

（1）验证：帕雷托分布是的共轭先验分布；

这是一个参数为

与

的帕雷托分布，因此帕雷托分布是的共轭先验分布.

（2）若选用后验期望估计，则

5． 设

是来自泊松分布

的样本, 证明

是充分统计量.

有

【答案】由泊松分布性质知, 在给定T=t后, 对任意的

该条件分布与无关, 因而

是充分统计量.

独立，由此得

即

，所以A 与B 独立. 由此得P （AB ）=P（A ）P （B ）

7． 设随机变量X 与V 相互独立, 且证:

相互独立, 且

【答案】因为X 与Y 的密度函数分别为

下求（U , V ）的联合密度函数,

因为

的反函数为

, 且变换的雅

试

6． 证：事件A 与B 独立的充要条件是

【答案】先证必要性：因为A 与B 独立，所以再证充分性：由