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2017年大连海洋大学海洋科学601高等数学Ⅰ之概率论与数理统计考研强化模拟题（一） ... 2 2017年大连海洋大学海洋科学601高等数学Ⅰ之概率论与数理统计考研强化模拟题（二） . 10 2017年大连海洋大学海洋科学601高等数学Ⅰ之概率论与数理统计考研强化模拟题（三） . 18 2017年大连海洋大学海洋科学601高等数学Ⅰ之概率论与数理统计考研强化模拟题（四） . 27 2017年大连海洋大学海洋科学601高等数学Ⅰ之概率论与数理统计考研强化模拟题（五） . 35

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一、证明题

1． 设连续随机变量x 的密度函数p （x ）是一个偶函数，F （x ）为X 的分布函数，求证对任意实数a>0，有

（1）（2）（3）且从（1）在

则

所以

（2）

（3）

2． 设分布函数列敛于分布函数F （x ）.

【答案】

对任意的点

:

则有

（1）

这时存在N , 使得当n>N时, 有

对任意的当

时, 有

由（1）, （3）式可得

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，

【答案】因为p （X ）是一个偶函数，所以P （-x ）=P（x ）

弱收敛于连续的分布函数F （x ）, 试证:

取M 充分大,

使有当

使有

时,

有

在

当

再令

上一致收

时,

有

,

对上述取定的M , 因为F （x ）在闭区间[-M, M]上一致连续, 故可取它的k 个分

必存在某个i , 使得由（2）式知,

即有

3． 设

证明:

, 结论得证.

为独立的随机变量序列, 且

服从大数定律.

所以由

由马尔可夫大数定律知

4． 设随机变量序列

独立同分布, 其密度函数为

试证:

【答案】因为当x<0时,

有

当

„所以, 对任意的

时,

有

, 当

所以有

结论得证.

5． 在伯努利试验中, 事件A 出现的概率为p , 令

证明:【答案】

服从大数定律.

为同分布随机变量序列, 其共同分布为

表

且

从而

又当

时, 与

又因为

于是有

即马尔可夫条件成立, 故

6． （格涅坚科大数定律）设

服从大数定律. 是随机变量序列, 若记

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【答案】因为

服从大数定律.

的独立性可得

其中常数而当时, 有

, 令

时,

有

独立, 所以

则服从大数定律的充要条件是

【答案】先证充分性. 任对注意到t>0时. 是增函数, 故当

时, 有

因此有

所以当再证必要性.

设有

因为函数

时, 有

服从大数定律,

即

是增函数及

故则任对

服从大数定律.

存在N ,

当, 得

由于的任意性, 所以

7． 设

也是一个分布函数.

【答案】为此要验证F （x ）具有分布函数的三个基本性质. （1）单调性. 因为于是

（2）有界性. 对任意的x ，有

且

（3）右连续性.

8． 设随机变量

独立同分布, 且

试用特征函数的方法证明:

【答案】因

为

, 这正是伽玛分布

, 所以由

诸

的相互独立性

得

特征函数为

都是分布函数，故当

时，有

都是分布函数，a 和b 是两个正常数，且a+b=l.证明：

时,

的特征函数, 由唯一性定理知

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