2017年大连海洋大学生态学601高等数学Ⅰ之概率论与数理统计考研导师圈点必考题汇编
● 摘要
一、证明题
1． 设（
【答案】
）是充分统计量.
的联合密度函数为
注意到
是已知常数, 令
取
由因子分解定理, （
）是（
）的充分统计量.
, 诸
独立,
是已知常数, 证明
2． 设连续随机变量X 的密度函数为p （X ）, 试证:p （x ）关于原点对称的充要条件是它的特征函数是实的偶函数.
【答案】记X 的特征函数为为
这表明X 与-X 有相同的特征函数,
从而X 与-X 有相同的密度函数, 而-X 的密度函数为关于原点是对称的.
再证必要性, 若
, 则X 与-X 有相同的密度函数, 所以X 与-X 有相同的特征函数,
由于-X 的特征函数为所以故是实的偶函数.
3． 试验证:以下给出的两个不同的联合密度函数, 它们有相同的边际密度函数
.
所以得
, 即
先证充分性. 若
是实的偶函数, 则
又因
【答案】因为当
时, 有
又因为当0 所以 4． 证明： （1）（2） 【答案】（1）由 移项即得结论. 有相同的边际密度函数. 计. （2）对n 用数学归纳法，当n=2时，由（1）知结论成立. 设n-1时结论成立，即 则由（1）知 独立同分布， ，证明： 是的相合估 5． 设 【答案】由于 这就证明了 ，是的相合估计. 6． 令X （n ，p ）表本服从二项分布b （n ，p ）的随机变量，试证明 ： 【答案】 7． 设 【答案】因为离散场合, 当 存在, 试证: 是随机变量Y 的函数, 记 . 取 , 它仍是随机变量. 在 由于在Y 取固定值时, 时, g （y ）以概率 也是常数, 故有 上式对Y 的任一取值都成立, 即 . 在连续场合也有类似解释, 所以在一般 场合有E （h （Y ）|Y）=h（Y ）. 8． 试分别设计一个概率模型问题，用其解答证明以下恒等式 （1）（2）（3） 【答案】设计如下的试验，计算相应的概率，即可证得相应的恒等式. （1）口袋中装有N 个球，其中m 个为白球. 从中每次取出一球，不放回. 试求迟早取到白球的概率. 因为袋中N 个球中只有m 个白球，在不放回抽样场合，可能第1次抽到白球，或第2次抽到白球，……，或最迟在N-m+1次必取到白球，若记 为第k 次取到白球的概率，则有 且 即 对上式两边同乘N/m即得（1）. 而（2）（3）两个等式可在如下设计的试验中获得证实. （2）口袋中装有N 个球，其中m 个为白球. 从中每次取出一球，若取出白球，则放回；若取出的不是白球，则换一个白球放回. 试求迟早取到白球的概率. （3）口袋中装有N 个球，其中m 个为白球. 从中每次取出一球后放回，若取出的不是白球，则不仅放回，且追加一个白球进去. 试求迟早取到白球的概率. 9． 总体其中θ＞0是未知参数，又为取自该总体的样本，为样本均值. （1）证明 是参数的无偏估计和相合估计； 从而 （2）求的最大似然估计，它是无偏估计吗？是相合估计吗？ 【答案】（1）总体 则