2017年大连海洋大学海洋科学601高等数学Ⅰ之概率论与数理统计考研题库
● 摘要
一、证明题
1． 设总体X 的密度函数为
为容量为5的取自此总体的次序统计量, 试证
【答案】
先求
的联合密度为
下求
的联合密度, 为此, 令
其雅可比行列式的绝对值为
. 由
得
另外, 我们还可以求出边际密度,
类似可求得
显然
2． 证明：
（1）（2）
【答案】（1）由
移项即得结论.
这就证明了
独立.
于是
的联合密度. 由于总体X
的分布函数为
与
相互独立.
所以
（2）对n 用数学归纳法，当n=2时，由（1）知结论成立. 设n-1时结论成立，即
则由（1）知
3． 设为自由度为n 的t 变量, 试证:的极限分布为标准正态分布N （0, 1）.
, 其中
, 且X 与Y
, 考察其极限知
【答案】据自由度为n 的t 变量的构造知相互独立. 由Y 的特征函数为
, 劼的特征函数为
由特征函数性质知从而由, 再按依概率收敛性知
这就证明了的极限分布为标准正态分布N （0, 1）.
, 且X 与Y
的特征函数, 由唯一性定理知）间的相关系数分别为
且
4． 试用特征函数的方法证明二项分布的可加性:若随机变量独立, 则
【答案】记这正是二项分布
5． 设随机向量（
令
证明:
两两不相关的充要条件为
则
【答案】充分性:若
因为
所以由X 与Y 的独立性得
同理可得
由此得必要性:若由此得
6． 证明
：
【答案】不妨设
则
两两不相关.
两两不相关, 则由上面的推导可知
另一方面，还有
综合上述两方面，可得
7． 设是参数的无偏估计，且有
【答案】由方差的定义可知
，
因而
所以
8． 设数为
不是的无偏估计. 是来自均匀分布
其中
的样本，的先验分布是帕雷托（Pareto ）分布，其密度函是两个己知的常数.
试证
不是的无偏估计.
由于
是参数的无偏估计，
即
（1）验证：帕雷托分布是的共轭先验分布； （2）求的贝叶斯估计. 【答案】（1）同时成立，必须
与
的联合分布为
所以的后验分布为
要使
与
这是一个参数为
与
的帕雷托分布，因此帕雷托分布是的共轭先验分布.
（2）若选用后验期望估计，则
9． 设X 为非负随机变量，a>0.若
【答案】因为当a>0时，
存在，证明：对任意的x>0，有
是非负不减函数，所以由上题即可得结论.