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一、证明题

1． 设数形式. 令

是由方程代

则

所确定的隐函数，试求

【答案】

欲将从所给的方程中解出来是非常困难的，甚至是不可能的，因此，必须引入参入所给的方程可得

故

2． 设

【答案】因知 3．

收敛. 为(2)

试证：

【答案】首先证明因

根据条件(2)

令其次

，

存在. 所以

当

使得

时，有

取极限，根据条件(1)

可得

由

利用条件(2) 及上一步骤之结论，可取x 与

充分接近使得

根据柯西准则，知

存在. 即等式

①左端极限存在，记之为A.

中的开集

，

的x 存在关于

为上的函数，且

中的y —致连续.

且

有界，证明

使

收敛.

从而

又

收敛，由比较原则

有界，故存在

(1) 对每个

将x 固定，由条件(1)

于是由②式知

4． 设

在有限区间上有定义. 证明：

对

设

从而

若

由

即

在上非一致连续，则

. 由

故

中相应的子列使得

时证毕. 在上一致连g

若

是中的柯西列，则

且

存在正整数

存在

虽然

，

因

当

时有

时有但

池是柯西列.

【答案】

在上一致连续，则

为柯西列

.

对

有界，因此

是中的柯西列，

则对上述的

中存在收敛子列

也收敛于相同的极限，

从而穿插之后序列亦收敛，即为柯西列，

但其像序列

恒有

5． 设为

，不是柯西列，矛盾. 所以

上的连续减函数，

又设

在上一致连续.

证明为收敛数列。

为

内的连续函数，所以

【答案】因

因此，数列可见

有下界，又因

为递减数列，由单调有界定理知

上连

续

【答案】当n=l时，取当

时，令

则有

则有

若

中有一个为0, 设

则令

有

命题得证.

命题得证.

收敛。

证明：对任何正整数n ，

存在

使

得

6． 设f

在

若

f

在

点

使得

全不为0, 则必存在两点上连续，因而

在

其中使得

上也连续. 由根的存在定理知，存在一

故对任何正整数n ，存在

7． 给定积分换满足

使得作正则变换

区域D 变为，如果变

证明：

【答案】利用复合函数的微分法，有

通过计算易知

注意到

可得

8． 设

证明：【答案】f 在

函数在

内的带拉格朗日型余项的泰勒公式为

在

内的带佩亚诺型余项的泰勒公式为

①式减②式，得

内具有阶连续导数，且在内的泰勒公式为