当前位置：问答库＞考研试题

一、证明题

1． 设

(1) 任给(2) 存在

为开集

，

存在

当

当在

可微，试证明： 时，有

时，有

(这称为在可微点邻域内满足局部利普希茨条件) 【答案】(1) 因为，在其中

即

处可微，依定义

当

时，有

(2) 在其中

中取

则

2． 利用条件极值方法证明不等式

【答案】取目标函数

约束条件为

对L 求偏导数，令它们等于0, 则有

解方程组易得稳定点是

为了判断把目标函数

看作与

是否为所求条件极值，可把条件

的复合函数

第 2 页，共 35 页

使

故当

肘，有

。拉格朗日函数为

看作隐函数并

于是

当

由此可得稳定点为极大值点，即有不等式

即

3． 证明：对连续函数f (x ) 有

【答案】令

由于

所以

4． 证明的有界函数. 5． 设

【答案】因

证明

单调递増趋于无穷，故利用Stolz 公式

是R 上的有界函数.

于是，

故

是R 上

【答案】由平均值不等式可得

6． 设D (x ) 为狄利克雷函数

，

【答案】

令

和无理数

，

使得

在.

第 3 页，共 35 页

证明于是

不存在.

中存在有理数

不存

根据柯西准则，

对任意的由有理数和无理数的稠密性可知，在

7． 证明下列结论：

(1)

设(2)

设

在(3) 设f (x ) 在f (x ) 在

故(2) 易知

在点x=0连续，且

对上连续；

在

上连续； 在点上连续.

取

得又

在点

连续，从而

因为

在于是对

令同理由

在

(3) 由

即

对

利用(1) 的结论知在

8． 设在点

【答案】因为其中

于是有

令

时有

故f (x ，y ) 在点

从而可微.

因

为

在

点即

连续，所以

当

定号，从而可知

得

对

两边取对数得

上连续，从而

存在，在点

在点

在

得

即

令

得因为

都成立.

由已知得上连续.

可微.

在

处连续，

在

有

即在所以于是

且上连续.

对

与

同号，

从而

处连续，由(1) 的结论知

上连续. 上单调，所以

都存在，设

. 对

当

时，由

处连续，所以

连续，

且对

满足

则

上单调，

且对

满足

则

满

足

则

在

【答案】(1) 由

连续，证明f (x ，y ) 在点

存在，由一元函数的可微性知

二、解答题

第 4 页，共 35 页