2017年东南大学数学系601数学分析考研题库
● 摘要
一、证明题
1． 设函数f ，g 在
的某个领域上可导，
且
如果
证明
其中A 是实数.
【答案】取
由
中值定理，
令
有
从而所以令
则
使得当
时，有
将使
固定，令
有
于是，
所以
2． 证明下列各式
则由
知道
【答案】(1) 令则因此
(2)
设
代入原方程有：
(3)
令(4)
令
则则
因此
. 因此
3． 设函数f 在且有
若若
综上，存在.
4． 设
使得
具有性质
【答案】(1) 由
得
即(2)
令令
5． 设
【答案】
上连续，且证明：存在点由f (x ) 在
使得
上连续可知F (x ) 在
上也连续.
【答案】作辅助函数
则取则
或即有
使
得
即
由根的存在性定理知，存
在
证明：
对
则有
证明
两边关于求偏导数得
6． 设p 为正整数. 证明：若p 不是完全平方数，则是无理数.
【答案】反证法. 假设且n>1，
使得是
7． 设
是有理数. 由于P 不是完全平方数，于是存在两个互质的正数m ，n ，
由此得
是无理数.
证明
：
不成立，那么显
然
由于
在
8． 设函数明：(1) 存在
【答案】(1) 令
在闭区间[0，1]上连续，在开区间(0, 1) 内可微，且
使得
(2) 存在则
函数函数
在闭区间[0, 1]上连续， 在闭区间[0，1]上连续.
使得
(2)
令
显然
在闭区间[0, 1]上连续，在开区间(0，1) 内可微. 由于
且由(1) 的结论知，存在根据罗尔中值定理，存在由于
于是
这与m ，n 互质矛盾，所以
由于所以存在质数于
在[0, 1]上单调増加，
【答案】设
显然M 是非空的，下证_用反证法，假
设使得于是
不妨
设
是连续函数，则对于任意的
则
对存
与单调性矛盾，因此假设不成立. 即证得
证
使得
由连续函数的零点存在定理知，存在即存在使得
使得使得
即
即
..
所以有