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一、证明题

1． 证明

【答案】因为续. 取

在

上一致连续，但在在闭区间

上不一致连续.

在

由

但

2． 设数列数列

与

得

于是，无

论故

在

多么小，总存在两

点

上不一致连续.

证明：:

所以

是单调有界数列，故

收敛. 由柯西

由柯西收敛准则知，

3． 证明函数

【答案】

因为幅

在

现设

于是有

又显然有

限个间断点，故可积. 因此，存在

所以

上的不连续点是

使对

是

在在

上可积。 上有界，且在

任给

的任何分法，只要

的满足因此，

所以

4． 设

【答案】由

且满足即

求证

：

有下界，

又由

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上连续，由一致连续性定理知上一致连

设是任一正数，则

满

足

满足：存在正数M , 对一切n 有都收敛.

又

存在正整数N , 当

时，有

【答案】因为收敛准则知，对任意的

于是

收敛.

的任何部分区间上的振

由于

在就有

上只有有

令

的任意分割.

设

在上可积。

的极限存在，并求出极限值.

故存在，若则

由广义极限的四则运算法则，有

由此可见

进一步由极限的四则运算法则，有

即得

5． 设f (x ) 为[a，b]上的有界可测函数，且

【答案】(反证法) 假设令

则必然存在某个

使得

这与题设矛盾，所以原命题成立.

6． 设

【答案】因为于是，

或

7． 证明：

【答案】将原不等式变形为

这样就将问题转化为求令

解之可得，在D 的内部有惟一驻点(1，1) ，且注意到，

下面求f (X ，y ) 在D 的边界上的最大值.

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即

证明：f (x ) 在[a, b]上几乎处处为0.

那么

证明：

所以

(当

或

对) ，即

即

成立.

在区域上的最大值.

所以f (x ，y ) 在D

的内部最大值为

和

在y=0上，令最大值为

，可得驻点

此时

因此，f (x ，y ) 在y=0上的

即

同理，f (x , y ) 在x=0上的最大值为

综上，f (x ，y ) 在D 上的最大值为

二、解答题

8． 求由方程

【答案】方法一 由隐函数求导，得

所确定的函数z=z(x ，y ) 的极值.

令得方程组

由此求出临界点x=0, y=l.再代入原方程，求出两个隐函数的值为

求二阶偏导数，由(1) 式和(2) 式，得

用x=0， y=l，代入上式，得

所以隐函数在(0，1) 点有极小值1. 用x=0， y=l

，

所以隐函数

代入(3) 式〜(5) 式，

得

在(0，1) 点有极大值3.

方法二 取目标函数f (x ，y , z ) =z，约束条件为原方程. 令

求导得

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