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一、证明题

1． 设函数

在

|上连续，在

内可微，又

不是线性函数. 证明：

【答案】过点

显然

，

不妨设

则有

由拉格朗日中值定理，

使

当当

于是，总存在

时，有时，有

使

2． 求证

：

【答案】对任意给定的

由柯西中值定理，

使得

只需再证明

将(1) 式左端中的变易为x 作辅助函数

由此可

见

是函

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使

与的直线方程为

由

于

不是线性函数，故存在

点

，

使

是函

数

在内的惟一极值点，并且是极大值点. 从

而

数的最大值点. 于是

显然由(2) 式推出(1) 式，所以本题结论成立.

3． 若在

上连续可微，则存在

上连续可微的增函数g 和连续可微的减函数h ，使得

上连续可微，所以

在上连续. 令

因此

，

4． 证明：函数

【答案】因为

所以

5． 证明

：

【答案】令

则

于是

在

时，

内严格递增

即

都有

得

或

者

有

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【答案】因为

在

与

取

在并且

上连续，从而是可积的

且是増函数，

是减函数。

所

以

为常数) 满足热传导方程：

故f (x )

在

内严格递增，

当

6． 设f 是定义在R 上的函数，且对任何证明对任何

都有

于是或

者

矛盾. 所以

对任意

【答案】

由

若

即

若

则

这与题

设

7． 设

当当即

求证

时

在区间在

上一致连续. 上显然一致连续.

【答案】当

时，结果显然成立.

时，利用一个显然成立的不等式：

可导出

有

因此

时，有

设令则

取于是当

因此

8．

设

在上一致连续.

且

在

附近

有使当

时，有

2时，有

时，就有

证

明

【答案】因为又因为对上述任给的

从而对任给的从而对上述只需取

存在

存在使当

故

二、解答题

9． 试分别举出符合下列要求的函数f :

不存在.

【答案】（1）令（2）令

则

则1不存在.

而

于是

10．求下列幂级数的收敛半径与收敛区域：

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