2017年东南大学经济管理学院601数学分析考研仿真模拟题
● 摘要
一、证明题
1． 设
在集合上有界，求证：
【答案】由下确界定义有
移项即得
由下确界定义有
即得要证的第一式，又因为
与所处的地位是对称的，故第二式也成立.
2． 设为连续函数，证明：
【答案】(1) 从所要证明等式的被积函数来看，
应作代换
则于是有
(2) 令
则
从而
由此得
3． 证明下列结论：
(1) 函数不存在原函数；
(2) 符号函数不存在原函数. 【答案】(1) 假设
则
于是
当
时
有
当时
有由
于连续，
所
以
即
从而
这与(2) 假设
矛盾.
由拉格朗日定理得
这说明
4． 设
【答案】
因为
所以
5． 设即可.
事实上，由f
是
由
由已知条件
，在收敛子列
再由
满足
及f 的连续性，令
到
的映射知，
对每一个
当
相应地存在
时
，
是有界点列. 由致密性定理
，
注意到
故
使得
记
相应
地
存
显然它是有界闭集.
可知
，
是有界集，
所以
可得
是连续映射，若对在点
不可导，与证明
中的任何有界闭集并设
欲证，
均有界. 证明：
是闭集.
时，
有
于是
又因为
相矛盾.
所以存在N ,
当
【答案】任取点列是闭集，只需证明
6． 用确界原理证明有限覆盖定理。
【答案】构造集合H
覆盖闭区间
所以存在一个开区间
能被H 中有限个开区间覆盖. 明显，S 有上界. 又因为
使
取
由确界原理可知，存在
知，必存在
使
则
即
下面证明取
加上，
就得到
和
能被H 中的有限个开区间覆盖. 从而
即
用反证法. 若则由H 覆盖闭区间使
则
所以
能被H 中有限个开区间覆盖，把
也能被H 中有限个开区间所覆盖，所以
7． (1) 证明若
(2) 若取
则当
(2) 不一定成立. 例如，取
【答案】(1) 设
存在，则存在，试问是否成立
，则对任给的
时，
有
这与
存在于是
，
矛盾. 因此所以定理结论成立。
使得当时，
，
即
故
则
这时
8． 设
存在，但
不存在.
是具有二阶连续偏导数的函数，证明：
其中D 为光滑曲线L 所围的平面区域，而是
沿曲线L 的外法线n 的方向导数.
【答案】在格林公式中，以P 代替
代替P 得
其中n 是L 的外法线方向. (1) 在
中令
则得
即
(2) 在
中，令
则得
即