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一、证明题

1． 设

是闭区间

上的连续可导函数. 记证明:

【答案】用反证法:若但

而在某个

是有限集.

内亦有

于是当n 充分大时,

介于

与x 之间, 这与Lagrange 中值定理矛盾. 所以

是有限集.

2． 证明下列结论:

（1）

当和

（2）若

在点a 的邻域U （a ）内连续

有

且

【答案】（1）令使得

令

, 则

, 于是有

从这个式子中可解得

由于

,

所以

, 且易知

（2）由泰勒定理知

其中

, 比较f （a+h）的两个展式有

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. 假设

且

无限, 则

时

, , 使

得, 其

中, 并

求

, 则.

f X ）, 则在[X, X+1]上对（利用拉格朗日定理, 当

时,

,

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,

于是

令

3． 证明

【答案】

将

作偶延拓到

上, 再在

故

即

4． 证明公式

,

其中S 是包围V 的曲面, n 为S

的外法线方向【答案】因

则由第一、二型曲面积分的关系及高斯公式可得

因此公式成立.

5． 叙述数集A 的上确界定义, 并证明:对任意有界数列

【答案】若存在数满足下面两条: （1）（2）

都有一定存在

有

.

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取极限,

利用n+1

阶导数的定义及

在U （a

）内连续有

外作周期延拓, 于是

而

总有

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则称a 为数集A 的上确界, 即令

则

二、解答题

6． 设

（1）gradr （2）（2）设

7． （1）

（2）

得

得

则

【答案】（1）由

试求

【答案】（1）先取对数, 再用罗比达法则。因为

f

所以

（2）由罗比达法则, 得

.

8． 判别下列反常积分的敛散性, 若收敛, 指出是绝对收敛？还是条件收敛？

（1）（2）（3）（4）

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其中