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一、证明题

1． 设函数f （X ）, g （x ）在[a, b]上连续, 在（a , b ）内可导, 且

求证:如果

严格单调增加, 则

,

和

都严格单调增加. 【答案】

不妨设

定理, 存在

使得

又因为

严格单调增加, 所以

从而

从而

严格单调増加. 同理可证

单调增加.

在[a, b]上连续.

2． 设f （x ）在[a, b]上连续. 证明函数扩大而不减, 因而M （x ）是单调递增函数.

对当一方面, 即从而即

'

再证M （x ）在点当

右连续.

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分别代替f （x ）, g （x ））, 根据柯西中值

（否则用

【答案】由闭区间上连续函数的有界性知M （x ）在[a, b]上处处有定义, 又上确界随取值区间

. , 先证M （x ）在点时有（否则, 若

, 左连续）. 于是当

左连续. 对于是当

另一方面, 设f （x ）在

则当时有

, 因为f （X ）在点

时, 有

上的最大值点为

时有

连续, 所以

. ,

, ,

时, 有

又当由此可知当所以当故

3． 设

证明:

时,

有

时, 有时, 有

,

. 又MU ）是单调递增的,

.

连续. 由

的任意性知M （x ）在[a, b]上连续. 内可导,

,

则由罗尔中值定理得, 存在,

,

综上所述, M （x ）在点

在使

连续, 在

【答案】构造辅助函数由于使得整理得

由于

从而函数单调, 从而原式成立.

二、解答题

4． 设

, 求证递推公式:

【答案】因为

所以

5． 求

【答案】由

在又由积分

由可微性定理, 有

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（已知

,

上收敛.

及在

）.

及

的收敛性知,

的收敛性知, 上一致收敛.

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即

解此常微分方程可得

6． 求由曲线

与坐标轴所围图形的面积.

【答案】如图所示, 曲线与x

轴、y 轴的交点为（a , 0）和（0, b ）所围图形的面积为

图

7．

已知

【答案】令

则

求

所以

8． 求极限

【答案】方法一:令

, 则有

当

时,

故有

因此方法二:当

时,

是无穷小量.

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