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一、解答题

1． 是否存在

由

时, 由

由又知由于是

这与连续, 可知

存在及的连续可导函数

知,

为满足:在

且

则

当

【答案】方法一 若存在满足这些条件的函数,

上严格单调递増, 又

由

存在, .

根据单调有界定理,

从而存在, 必有

矛盾, 所以假设不成立,

所以这样的函数不存在.

方法二 假若存在满足这些条件的函数, 由又由对于是从而显然, 当

2． 求幂级数

【答案】由于

因此另外

因此幕级数

的收敛域为

及和函数为

.

的收敛域

.

的收敛域及和函数. 时, 有, 得有

这与条件矛盾, 所以这样的函数不存在.

知

在

上严格单调递增,

3． 求.

是以

为周期的连续函数, 故有

【答案】由于被积函数

对, 作变换, 则有

*

即

对

作变换

, 类似于上面, 则有

于是有

令

, 则有

4． 求摆线:

【答案】因

故质心坐标为

的质心, 设其质量分布是均匀的.

5． 求下列线积分:

（1）（2）

【答案】（1）令

,

.

A （0, 0, 0）B （1, 1, 1）

在全平面成立, 所以线积

分在全平面上与路径无关, 这时必有原函数存在. 为求被积表达式的原函数, 先求积分

所以原函数

因而

（2）记被积表达式为, 则的外微分为

所以线积分在全空间上与路径无关. 为求的原函数, 先求三个不定积分:

所以原函数为

因而

6． 求下列极限:

（1）（2）（3）