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一、证明题

1．

设连续函数列明

:

均有值,

取

因此有又函数g （x ）

在上一致连续, 所以

又注意到

上连续, 所以g （x ）在[﹣M , M]上也连续, 因而g （x ）在[﹣M , M]

当

时, 有

当n>N时,

,

这说明

, 有

在[a, b]上一

【答案】因为

在[a, b]上一致收敛于f （X ）, 而g （x

）在在[a, b]上一致收敛于f （x ）, 所以, 存在N 1, 当即

I

又因为

时,

上连续, 证

在[a, b]上一致收敛于g （f （x ））.

和f （x ）在[a, b]上连续, 一定存在最

在[a, b]上一致收敛于f （X ）, 对上述

因此可得

致收敛于g （f （x ））.

2． 证明:在[a, b]上一致连续, 但在

【答案】因为续. 取

设是任一正数, 则

在闭区间

上不一致连续.

上一致连

上连续, 由一致连续性定理知, f （x ）在

由

,

得, 但

. 于是, 无

论

故

多么小, 总存在两

点在

上不一致连续.

, 时有

满

足

3． 设f f （x ）在有限区间上有定义，证明：（x ）在上一致连续若{xn}是中的柯西列, 则. 也是柯西列.

【答案】

:

对

, 由f （x ）在上一致连续, 则. 设{xn }是中的柯西列, 则对上述的

当m , n>N

时有

, 从而

, 对

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, 当且

, 存在正整数N ,

为柯西列

. 存在

, 虽然

,

, 即

:若f （x ）在上非一致连续, 则

但因

从而穿插之后序列恒有

4． 证明对任意常数

球面, 故

. 由有界, 因此中存在收敛子列.

中相应的子列也收敛于相同的极限,

亦收敛, 即为柯西列, 但其像序列

, 不是柯西列, 矛盾. 所以f （x ）在上一致连续.

与锥面

是正交的

【答案】设（x , y , z ）是球面与锥面交线上的任一点, 则球面在该点的法向量为

锥面在该点的法向量为

因为

故对任意常数

球面与锥面正交.

二、解答题

5． 求下列极限:

（1）

（2）

【答案】（1）该极限是””型的不定式极限, 利用洛必达法则有

（2）该极限是

“”型的不定式极限, 利用洛必达法则有

6． 求由下列方程所确定的隐函数的极值.

（1）（2）

【答案】（1）令

令又从而（2）设

, 则

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则

则有x=﹣y , 将x=﹣y 代入原方程得

, 且y （1）= ﹣1, y （﹣1）=1.

, 解此方程得

于是该函数的稳定点为

故当x=l时有极小值﹣1, x=﹣1时有极大值1.

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令这时再将

, 故x=0舍去

. 再以

代入

, 解得x=0

或

以x=0代入原方程, 得y=0,

故稳定点为

代入原方程解得

解得

而

在稳定点

均有

及

代入

的表达式中, 得

可见

与y 异号. 故

所以在点P 1,

P 3, . 取极大值

,

在点P 2, P 4取极小值

, 使图中两阴影部分面积相

7． 设y=f（x ）为

[a, b]上严格增的连续曲线（图）. 试证存在等.

图

【答案】

作辅助函数

则F （t ）在[a, b]上连续可导. 由f （x ）为严格增函数可得

由根的存存定理. 存（a , b ）内存在一点, 使得上式两端恰为两部分面积, 故证得结论.

8． 已知抛物叶形线

（1）M 的面积; （2）M 的周长;

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. 即

, 如图所示, 其中当时的叶形部分记作M. 求