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一、证明题

1． 设f （X ）在

I

上可微, 且对x>l满足

证明:【答案】记

. , 则

因此若在一个点列

存在广义极限, 记为L.

, 对g （x ）在

. ,

则

, 使得

另一方面, 由令

可得

这显然与刚才的结论矛盾, 所以

,

上应用拉格朗日中值定理, 存在

.

这表明在

使得

上存

2． 证明下列结论:

f x ）（1）若（在[a, b]上严格递增, 且对f x ）（2）设（与g （x ）

在【答案】（1）假设从而有

（a ）为极限, 从而数列

当再证:当即

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）有

, 对任意正整数k ,

,

（正常数）, 即数列

的子列

知

,

, 使得, 于是

时有

, 即

, 则, 则, 使得

. 不以f

上有定义, g （x ）单调, 且

, 则

已知f （X ）在[a, b]上严格递增, 所以有

也不以f （a ）为极限, 矛盾, 于是

.

由

（2）不妨设g （x ）单调递增. 对

时有

时有

（反证法）若结论不成立, 即存在

, 矛盾. 从而当

,

, 由g （x ）单调递增, 则有

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3． 设序列

X n 无上界, 求证:存在子序列

【答案】对于对于对于对于

这样产生一子序列

4． 证明:若

【答案】由可推出进一步, 由由设

单调递增且有上界, 知

则有的构造, 知

得

. , 因为使得

’使得

使得

, 使得

, 使得,

, 由广义极限不等式推出

则数列

收敛, 并求其极限.

为严格单调递増数列.

收敛.

所以

即

二、解答题

5．

试求下列方程所确定的函数的偏导数

（1

）（2）

所以

同理两边对y 求偏导数得

（2）两边对x 求偏导数有

所以

两边对y 求偏导数, 得

故

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【答案】（1）把

u 看成x , y 的函数, 两边对

x 求偏导数, 得

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6．

判别下列函数的奇偶性:

（1） （2）

（3） （4）

【答案】（1）显然

,

的定义域为R. 对于任意

有

故

是R 上的偶函数.

有

故

是R 上的奇函数.

有

故f （x ）是R 上的偶函数.

（4）显然, f （x ）的定义域为R. 对于任意

有

故f （x ）是R 上的奇函数.

7． 确定下列幂级数的收敛域, 并求其和函数

:

（1）（2）（3

）（4）

【答案】（

1）设

则

, 收敛半径R=﹣l. 当x=1时级数

发散, x=-l时级数

（3）显然, f （x ）的定义域为

R.

对于任意

（2）显然, f （

x ）的定义域为R. 对于任意

也发散, 所以收敛域为（﹣1, 1）. 设

, 则

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