当前位置：问答库＞考研试题

一、证明题

1． 设f （x ）在

（1）（2）设

上连续, 满足. 则有, f （t ） =t;

, 则t=0.

知, 数列

为收敛数列.

上连续, 对

两边取极限, 得

因此f （t ） =t.

（3）此时（1）, （2）的结论仍成立. 因为当推出t=0. 2． 设

【答案】由

知

且

又因为

减有下界的. 所以, 数列

收敛. 令

由

知

即

数列

是单调递

证明:数列

收敛, 且其极限为

时,

所以由f （t ） =t可

为递减数列. 由

知, 数列

有

. 设

证明:

为收敛数列；

（3）若条件改为【答案】（1）由界.

根据单调有界定理, （2）设

, 由于f 在

. 对（极限保号性）

两边求极限, 得到解得

3． 试用有限覆盖定理证明聚点定理.

都不是S 的聚点,

于是存在正数使得

是

盖, 设为有一个聚点.

舍去负根, 因此,

【答案】设S 是实轴上的一个有界无限点集,

并且假设S 没有聚点,

则任意

的一个有限覆

中

中只含有S 中有穷多个点.

而开区间集

的一个开覆盖. 由有限覆盖定理知,

存在它们也是S 的一个覆盖. 因为每一个

只含有S 中有穷多个点, 故S 是一个有限点集. 这与题设矛盾. 故实轴上的任一有界无限点集S 至少

4．

证明:

若在区间I 上一致收敛于0, 则存在子列使得在, 上一致收敛.

使得

在

I 上一致收敛.

【答案】因为

5． 设

在I 上一致收敛于0, 所以对任意的自然数i

, 总存在自然数而级数

收敛

, 由魏尔斯特拉斯判别法, 得级数

为m 个正数, 证明:

【答案】设由于

, 则

因此

6． 证明:若

为

上的连续函数, 且对一切

对任意

.

上连续, 所以

在

有

上存在最大值M.

有

=0. 则f （x

）

其中

【答案】显然

而

在

对于上面的, 有

其中

依次进行下去, 可知存在当又对一切

时, 有连续, 所以

有

所以

使得

7

． 证明:若函数f

在区间上处处连续, 且为一一映射, 则f 在上严格单调.

【答案】用反证法. 先证明f 在上是单调的. 若不然, 则至少存在三个点

注意到f 在上连续, 对f

分别在区间

, 使得

再证明f 在上是严格单调的. 不妨设f 在上是单调递增的, 则对任意的, 故必有

有

. 注意到f 在上是一一对应

, 这表明f 在上是严格单调的.

满足和

但, 而

而

.

由

和

于f 是一一映射, 所以上述不等式为严格的, 即

上应用介值定理, 则存在

这与f 是一一映射相矛盾, 所以f 是单调的.

8． 由根式判别法证明级数

【答案】记

收敛, 并说明比式判别法对此级数无效. 则

故比式判别法对此级数无效.

又

故

由根式判别法知此级数收敛.

二、解答题

9． 设

试求【答案】当

时, 由

知

当

时, 有

10．试确定级数你的结论.

【答案】由

所以当x>0时级数为

由于

而

的收敛域. 又问:该级数在收敛域内是否一致收敛? 是否连续? 是否可微? 证明

收敛, 当x<0时发散, 当x=0时级数发散, 所以级数的收敛域