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一、证明题

1． 设函数f 在（a , b ）上连续, 且

【答案】在（a , b ）内任取一点使得

同理, 存在

时有

①

, 使得当

时, 有

②

由f 在（a , b ）上连续可知, f 在区间由闭区间连续函数的最值定理知, f 在对一切

都有

③

由式①, ②, ③知, f 在

2． 证明:若f （x ）在[a, b]上连续, 且使得

. 又若

【答案】利用反证法.

若

（或<0）,

这与令

则当

且

时有g （x ）<0, 从而

, 但

矛盾, 故又当不妨设再令

, 使得时f （X ）>0,

使得

.

,

时f （x ）>0.

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. 证明f 在（a , b）内能取到最小值.

. 因为

, 取

, 则存在

,

上连续,

上有最小值点, 即存在

,

内能取得最小值.

, 则在（a , b ）内至少存在两点x 1, x 2,

, 这时f （x ）在（a , b ）内是否至少有三个零点？

, 则f （x ）在（a , b ）内恒正或恒负,

从而

.

时, f （x ）>0, 当

时f （x ）<0.

矛盾. 所以使得

若f （x ）只有一个零点x 1, 不妨设当

. 时, 若f （X ）只有两个零点

时

, 同样引出矛盾. 故

3． 证明:若级数

与收敛, 则级数

和也收敛, 且

【答案】因为

又所以

及

均收敛, 所以

收敛, 故

收敛. 又因为

收敛, 故由柯西﹣施瓦兹不等式

及闵可夫斯基不等式

对

4． 证明级数

【答案】因为所以当

时, 数列

条件收敛.

. 所以该级数为交错级数. 令

单调递减, 且

收敛. 因为

而

5． 证明:当

【答案】因为

所以

6． 设f 为

上的连续减函数,

; 又设

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取极限, 进而可得所证明的不等式.

. 则

由莱布尼茨判别法知级数

发散, 所以

时

发散. 故原级数为条件收敛.

证明{an }为收敛数列. 【答案】因f （x ）为

内的连续函数, 所以

因此, 数列{an }有下界, 又因

可见{an }为递减数列, 由单调有界定理知{an }收敛.

7． 设

和

在点

【答案】对于固定的x 0

与分中值定理,

即有 于是有

故

存在, 且

命题得证.

上的函数f （x ）在x=0附近有界, 且对

. 证明:

.

, 而b>1知f （0）=0, 故只需证明

可推得

及对故

, 当

时,

有

, 于是取

, 当

时有

, 从而

有:

令

则

在y 0的邻域可微, 从而由微

的某邻域内存在,

在点

连续, 证明

也存在, 且

8． 设a>1, b>1为两个常数, 定义在

有

【答案】由由

（n 为任意正整数）, 而f （x ）在x=0附近有界,

所以

, 由b>1可知存在正整数N , 使得

二、解答题

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