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一、证明题

1． 证明:（1）两个奇函数之和为奇函数, 其积为偶函数;

（2）两个偶函数之和与积都为偶函数; （3）奇函数与偶函数之积为奇函数. 【答案】（1）设令

与

是D 上的两个奇函数,

则

所以（2）设则

k （-x ）=f（-x ）g （-x ）= f（x ）g （x ）=k（x ）

所以（3）设所以

2． 设级数

和

为D 上的奇函数, 为奇函数. 收敛，证明

也收敛. 都为偶函数.

为D 上的偶函数,

则

与

是D 上的奇函数, 是D 上的两个偶函数,

是D 上的偶函数.

【答案】因为

又 3． 设

证明

所以对任意

的

存

在

使得

当

【答案】因

为时,

取

4． 设

则当

时, ,

于是,

证明:

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及收敛，故收敛，所以由比较原则得收敛.

即.

【答案】方法

一

, 由

于是当n>N时, 有

, 因有极限点列必为有界点列, 故存

在

, 当n>N时, 有

,

使,

令

即

方法二设

由所以

可得

二、解答题

5． 应用

【答案】设

求

在任何[c, d] （c ＞o ）内一致收敛

.

所以

则

6． 设

【答案】由于

求dz.

可微，故

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7． 计算曲面积分

个坐标面所围的第一卦限部分的外侧。

【答案】由高斯公式得

注:本题还可以用斯托克斯公式做。

8． 设是某个区间, 数列

X 0由迭代公式

求证:（1）当

f 在区间上严格单调增加时, （2）当f 在区间上严格单调减少时, 相反的单调性.

【答案】（1）以下分两种情况考虑: 如果如果

, 那么用数学归纳法容易证明数列, 那么用数学归纳法容易证明数列

必为严格单调增加数列; 必为严格单调下降数列.

恰好是严格单调增加的, 应用

的两个子列

产生, 如果对

为严格单调数列;

和

都为严格单调数列, 且具有

推出

其中S 为由

, z=h（h , R>0）及三

（2）注意到, 当f 在区间上严格单调减少时, 复合函数

第（1）小题的结论即得证明.

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． 有一等腰梯形闸门. 它的上、下两条底边各长为10米和6米, 高为20米. 计算当水面与上底边

相齐时闸门一侧所受的静压力.

【答案】如图所示

, B

、C 的坐标为（0, 5）和（20, 3）于是BC 的方程为

深度为X 处水的静压强为pgx , 闸门从深度x 到故

这一窄条

上受到的静压力为

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，共

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