2017年西安石油大学817理论力学(同等学力加试)复试实战预测五套卷
● 摘要
一、计算题
1． 弹性球自高度为h 处自由落到水平地面，球从地面跳起又重新落下，这样继续弹跳，如图所示. 如恢复系数为k ，求小球停止跳动的行程和所需时间
.
图
【答案】恢复系数的定义为
因地面不动，因此
这样，小球反复弹跳，往下落和向上弹的高度形成两个等比级数 下落:上弹:
公比公比
级数和级数和
弹球作自由落体和竖直上抛运动，有
总行程是上述两个级数之和，即
自由落体到地面和竖直上抛到最高点，所用时间分别为
下落和上抛两个行程所用时间，也构成两个级数: 下落:
公比q=k, 级数和
上抛:
因此总时间为两个级数之和，即
公比q=k.级数和
2． 均质细杆长为的平衡位置，以
质量为m ，两端可分别在光滑的水平及铅垂滑道内滑动，如图所示. 弹簧的刚表示；（2）AS 杆绕此平衡位置作微振动的运动微分方程及固有频率
.
度系数均为A ，且在AS 杆处于水平位置时，其长度均为原长. 滑轮A 、S 质量不计. 求:（1）AS 杆
图
【答案】这是一个单自由度保守系统，以转角为广义坐标. （1）求平衡位置.
以
杆的水平位置作为弹性力势能和重力势能的零势能位置，则系统的势能为
即
由
得平衡位置
，即
（2）根据系统机械能守恒建立振动微分方程求固有频率. 因为
杆作平面运动，且该系统为保守系统，所以系统的机械能守恒，即
其中，系统的动能为
仍以
杆的水平位置作为弹性力势能和重力势能的零势能位置，于是系统的势能与式①相
同. 所以，系统的机械能为
将上式对时间f 求导，化简后得到
此方程为二阶非线性微分方程.
令
和
运动微分方程，即
系统的固有频率为
3． 图中所示复合摆. 两均质杆，长均为1，质量均为m ，用刚性系数为k 的弹簧连接，弹簧原长为c. 试用拉格朗日方程导出微振动微分方程
.
，注意到
其中为从平衡位置开始度量的微小转角.
展开并将式②代入，经化简、整理得系统微振动的
图
【答案】研究由杆广义坐标. 系统动能为
取过
的水平面为重力零势能位置，弹簧原长为弹性力零势能位置. 则系统的势能为
拉格朗日函数为
对
求导
代入拉格朗日方程
，得
对
求导
和组成的系统. 主动力有杆和的重力及弹性力. 取与