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一、计算题

1． 化肥厂用自动包装机包装化肥，每包的质量服从正态分布，其平均质量为100kg ，标准差为1.2kg. 某日开工后，为了确定这天包装机工作是否正常，随机抽取9袋化肥，称得质量如下：

设方差稳定不变，问这一天包装机的工作是否正常（取）？

，待检验的问题为

检验拒绝域为若取查表知由样本数据算得，

此处u 值未落入拒绝域内，因此不能拒绝原假设，不能认为这一天包装机的工作不正常. 【答案】这是一个双侧假设检验问题，总体

2． 在长为a 的线段的中点的两边随机地各选取一点, 求两点间的距离小于a/3的概率.

【答案】记X 为线段中点左边所取点到端点0的距离, Y 为线段中点右边所取点到端点a 的距离, 则

且X 与Y 相互独立, 它们的联合密度函数为

而P （x , y ）的非零区域与

的交集为图阴影部分, 因此, 所求概率为

图

3． 考察一鱼塘中鱼的含汞量，随机地取10条鱼测得各条鱼的含汞量（单位：mg ）为

设鱼的含汞量服从正态分布试检验假设（取

当α=0.10时，查表知

由样本观测值计算得到

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）.

【答案】这是在总体方差未知下关于正态分布均值的单侧检验问题，

检验的拒绝域为

故在显著性水平0.1下接受原假设.

4． 设随机变量X ，Y 的概率分布相同，X 的概率分布为的相关系数

求二维随机变量（X ，F ）的联合概率分布；求概率

且X ，Y

【答案】由于X ，Y 的概率分布相同，故

显然

相关系数

所以故又而

的联合概率分布：

所以故

从而得到故得到（X ，F ）

（2）

5． 甲、乙两个赌徒在每一局获胜的概率都是1/2.两人约定谁先赢得一定的局数就获得全部赌本. 但赌博在中途被打断了，请问在以下各种情况下，应如何合理分配赌本：

（1）甲、乙两个赌徒都各需赢k 局才能获胜；

（2）甲赌徒还需赢2局才能获胜，乙赌徒还需赢3局才能获胜； （3）甲赌徒还需赢n 局才能获胜，乙赌徒还需赢m 局才能获胜. 【答案】按甲、乙最终获胜的概率大小来分赌本.

（1）在这种情况下，甲、乙两人所处地位是对称的，因此甲、乙最终获胜的概率都是1/2，所以甲得全部赌本的1/2，乙得全部赌本的1/2.

（2）最多再赌4局必分胜负，若以事件表示再赌下去的第i 局中甲赢，i=l，2，3，4，则

所以甲得全部赌本的11/16，乙得全部赌本的5/16. （3）再赌n+m-1局必分胜负，共有此n+m-1局中至多赢m —1局，

这共有

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种等可能的情况，而“甲最终获胜”意味着：乙在

种等可能的情况，若记

则

所以甲得全部赌本的

乙得全部赌本的

6． 设随机变量X 服从参数为X 的泊松分布，试求X 的前四阶原点矩、中心矩、偏度与峰度.

【答案】分几步进行.

（1）先求k 阶原点矩的递推公式. 按定义

显然

而当

时有

（2）由此递推公式可导出前四阶原点矩

.

（3）再计算前四阶中心矩；

（4）最后计算偏度卢；与峰度卢。

所以泊松分布是正偏分布，愈小偏度愈大

.

所以泊松分布比标准正态分布更尖峭一些，A 愈小分布愈尖峭.

7． 设二维连续随机变量（X , Y ）的联合密度函数为

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