2017年燕山大学B27概率论复试实战预测五套卷
● 摘要
一、计算题
1． 已知某炼铁厂铁水含碳量服从正态分布（
）?
【答案】这是关于正态总体均值的双侧假设检验问题，原假设和备择假设
由于总体方差已知，故采用“检验，
检验的拒绝域为
当
由已知条件，
故
这里值没有落入拒绝域，故不能拒绝原假设，因而可以认为生产的铁水平均含碳量仍为4.55.
2． 从一批产品中抽检100个，发现3个不合格，假定该产品不合格品率的先验分布为贝塔分布Be （2, 200），求的后验分布.
n-x+200）. 这里n=100, x=3, 【答案】根据不合格品率的共轭先验可知，的后验分布为Be （x+2，所以，的后验分布为Be （5, 297）.
3． 三人独立地破译一个密码，他们能单独译出的概率分别为1/5，1/3，1/4.求此密码被译出的概率.
【答案】记事件
为“第i 个人译出密码”，i=l，2，3，B 为“密码被译出”.则
注：互不相容可简化事件并的概率计算，相互独立可简化事件交的概率计算. 这里为了要利用相互独立性，把事件并在对偶法则下转化为事件交，这一方法以下会经常用到.
4． 设为来自的样本，试求假设的似然比检验.
【答案】记
样本的联合密度函数为
两个参数空间分别为
利用微分法可求出在上MLE , 于是似然比统计量为
第 2 页，共 29 页
现在测定了9炉铁水，其平均含碳量
为4.484, 如果铁水含碳量的方差没有变化，可否认为现在生产的铁水平均含碳量仍为4.55
分别为
时，
查表知
分别为的MLE , 而在上为u 的
通过简单的求导计算可知，
函数是
在（0, 1）区间内单调递增，
在（）上单调递减，于
从而似然比检验等价于采用检验是等价的.
5． 一射手单发命中目标的概率为p （
做检验统计量，也就是说，似然比检验与传统的双侧卡方
）, 射击进行到命中目标两次为止. 设X 为第一次命
中目标所需的射击次数, Y 为总共进行的射击次数, 求（X , Y ）的联合分布和条件分布.
【答案】只论命中与不命中的试验是伯努利试验. 在一伯努利试验序列中, 首次命中的射击次数X 服从几何分布
, 即
其中p 为命中概率, 第二次命中目标的射击次数Y 服从负二项分布Nb （2, p ）, 即
由于X 与Y-X 相互独立, 所以条件分布
从而（X , Y ）的联合分布列为
另一条件分布
注:从以上条件分布列
可知:在已知第二次命中目标的射击次数为y 的条件下,
第一次命中目标的射击次数X 是在前面次射击中等可能的.
6． 设二维随机变量在边长为2, 中心为（0, 0）的正方形区域内服从均匀分布,
试求
【答案】记因为
服从D 上的均匀分布, 且D 的面积
, G 的面积
第 3 页，共 29 页
所以所求概率为
7． 某工厂一个班组共有男工9人、女工5人，现要选出3个代表，问选的3个代表中至少有1个女工的概率是多少？
【答案】设事件A 为“3个代表中至少有一个女工”，则为“3个代表全为男工”，因为
所以
8． 设离散随机变量X 服从几何分布以此求E （X ）和
【答案】记
则
它的前二阶导数为
由此可算得几何分布的期望和方差为
. 试求X 的特征函数, 并
二、证明题
9． [1]设间为
[2]某商店某种商品的月销售量服从泊松分布，为合理进货，必须了解销售情况. 现记录了该商店过去的一些销售量，数据如下表：
表
试求平均月销售量的置信水平为0.95的置信区间.
第 4 页，共 29 页
是来自泊松分布P （λ）的样本，证明：当样本量n 较大时，的近似置信区