2017年燕山大学B27概率论考研复试核心题库
● 摘要
一、计算题
1． 由正态总体
【答案】因为
抽取容量为20的样本, 试求
所以
, 用
表示服从
的随机变量的分布函数值, 则
利用统计软件可计算上式. 譬如, 可使用MA TLAB 软件计算上式:在命令行输入则给出一次性给出
输入
这里的
则给出0.0318, 直接输入
就表示自由度为k 的
则
分布在x 处的分布函数值. 于是有
2． 从指数总体
3． 设
【答案】
因为
为
及
抽取了40个样品, 试求
的均值为
的渐近分布. 方差为
于是
的渐近分布为
【答案】由于指数总体
，求
的密度函数、数学期望与方差.
且
为严格单调增函数，其反函数
所以Y 的密度函数为
的可能取值范围为
这是对数正态分布为求其数学期望，采用线性变换可得
上式最后一个等式成立是因为积分中的被积函数是为求Y 的方差，先求
施行相同的线性变换，可得
的密度函数之故.
上式最后一个等式成立是因为积分中的被积函数是
的密度函数之故. 由此得
4． 已知随机变量X 的密度函数为
试求随机变量Y=g（X ）的概率分布，其中
【答案】因为p （x ）为偶函数，所以可得所以Y 的分布列为
表
5． 设有k 台仪器，已知用第i 台仪器测量时，测定值总体的标准差为些仪器独立地对某一物理量各观察一次，分别得到取何值，方能使
【答案】若要使
成为的无偏估计，且方差达到最小？
为的无偏估计，即
则必须有
此时，
因此，问题转化为在令
的条件下，求
由
得到
从①中可以得到
代入②中，解出
从而
的极小值.
由此得
（i=l，2, …，k ）. 用这
应
，设仪器都没有系统误差. 问
6． 某种产品由20个相同部件连接而成, 每个部件的长度是均值为2mm 、标准差为0.02mm 的随机变量. 假如这20个部件的长度相互独立同分布, 且规定产品总长为（求该产品的不合格品率.
【答案】
记
为第i 个部件的长度,
则
, 可用林德伯格-莱维中心极限定理近似算得合格品率
所以不合格品率为0.0254.
7． —批产品的不合格品率为0.02，现从中任取40件进行检查，若发现两件或两件以上不合格品就拒收这批产品. 分别用以下方法求拒收的概率：（1）用二项分布作精确计算；（2）用泊松分布作近似计算.
【答案】记X 为抽取的40件产品中的不合格品数，则
（1）拒收的概率为
（2）因为
所以用泊松分布作近似计算，可得近似值为
可见近似值与精确值相差0.0007，近似效果较好.
8． 某地抽样调查结果表明，考生的外语成绩（百分制）近似地服从
【答案】记X 为考生的外语成绩，由题设条件知知
即
因此查表知
由此解得
从而得
由此所求概率为
其中
的正态分布，已知96未知，但由题设条件而“拒收”
就相当于为总长度,
且）mm 时为合格品,
分以上的人数占总数的2.3%，试求考生的成绩在60分至84分之间的概率.
二、证明题
9． 设总体X 服从双参数指数分布, 其分布函数为
其
中明,
服从自由度为2的
为样本的次序统计量. 试证分布