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一、证明题

1．

设列.

【答案】因为取M=l, 则

是无界的, 所以对, 使得

则,

则

因此

取N=l, 则

;

, 使得

, 使得

不是无穷大,

所以

, 使得, 使得

, 由致密性定理知,

中存在收敛子列.

,

, 对任意正整N

,

,

使得

, 使得

是一个无界数列, 但非无穷大量. 证明:存在两个子列, 一个是无穷大量, 另一个是收敛子

为无穷大量.

因数列

, 使得.

,

则则

于是得一有界子列

2． 求证:

（1）（2）序列【答案】（1）令

是最小值点

（2）显然序列

;

的极限存在.

, 则有

存在, 只要肯定序列

有上界即可.

, 且

调递增, 为了证明极限

为此利用第（1）小题, 有

3． 设

【答案】根据题意可知

证明:极限

存在并求之.

又

所以从而设

4． 证明:当且仅当存在各点互不相同的点列

【答案】充分性 若存在时, 有

当充分大时, 这说明P 0

是E 的聚点.

必要性 若P 0是E 的聚点, 则对任给的含有E 中的点, 取出一个, 记为P 1.

取

则

中含有E 中的点, 取出一个, 记为P 2. 依此类推, 取 则

这样继续下去,

得到一个各项互异的点列

中含有E 中的点, 取出一个, 记为

P n.

易见

且

中必含有E

中的点, 取

则

中

含有

的无穷多个点, 又

从而

中含有E 中无穷多个点,

时, 则对任给的

时, P 0是

E 的聚点.

总存在N , 使得n ＞N

单调递增有上界

由单调有界定理知极限存在.

两边

取极限得

解得

即

二、解答题

5． 试证:在原点（0, 0）的充分小邻域内

, 有

【答案】设

则

故

6． 在抛物线

【答案】设

哪一点的法线被抛物线所截之线段为最短.

为抛物线

上的一点, 则过该点的切线斜率为:

故点

处的法线方程为:

设法线与抛物线

的另一交点为

, 则由韦达定理可知, 两交点的距离d 满足

令由 7． 设

【答案】

8． 讨论反常积分

【答案】当故当所以

9． 设

, 求证递推公式:

【答案】因为

所以

10．求由坐标平面及x=2, y=3, x+y+z=4所围的角柱体的体积.

【答案】立体V （如图）在xOy 面上的投射区域D —即积分区域为图中阴影部分, 所以V 的体积

,

则

, 得

. 故所求点的坐标为

为由方程

,

所确定的可微隐函数, 求gradz.

的敛散性.

时, 对一切发散, 从而

有发散.

有

收敛, 又

存在, 故

而收敛.

收敛

,

而

发散,

时,

对一切