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一、计算题

1． 求三叶形曲线

所围图形的面积.

【答案】如图所7K , 所围图形的面积为

图

2． 设

为

上的连续递增函数, 则

. 即可.

使

3． 己知

【答案】因为

4． 通过对积分区间作等分分割,

并取适当的点集算下列定积分:

（1）

（2

）

（3）

（4）

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.

【答案】只要证明由于

单调递增, 利用积分第二中值定理, 则存在

其中在点x=a的某邻域内连续, 求. , 则

.

, 把定积分看作是对应的积分和的极限, 来计

【答案】（1）因其分割为

,

取

在[0, 1]上连续, 所以f （x ）在[0, 1]上可积. 对[0, 1]进行n 等分, 记为区间

的右端点,

得

（2）同（1）, 有

（3）由

.

则

在

上连续知, f （x ）在[a, b]上可积, 对[a, b]进行n 等分,

记其分割为

, 取为区间

的右端点,

得

（4）同（3）, 取

, 得

二、证明题

5． 证明:

若函数

上一致连续. 【答案】首先, 由存在正数于是, 对

, 得

当

总有

时, 有

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在上连续,

且其中b 为非零常数,

则

在

知对

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其次, 由

在

上连续, 知在

上连续且一致连续.

于是, 对上述的存在,

时,

有

综上, 取对

当

时,

与

事件至少一个发生. 于是, 总有即

在上一致连续.

6． 证明关于函数

的如下不等式:

（1）当时,

（2）当时,

【答案】是不超过的最大整数, 因此

即

（1）当

时, 式（*）两边同乘以x , 得到

（

2

）当时, 式

两边同乘以x , 得到

7． 证明反常积分

是收敛的.

【答案】因为

所以只需证明收敛即可.

记

则对任意

在

上单调递减, 并且

由狄利克雷判别法可知收敛, 故

收敛.

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