2017年中国农业大学高等数学考研复试核心题库
● 摘要
一、解答题
1． 设函数
【答案】由
，其中F 有二阶连续偏导数，求
可得
2． 设有一质量为m 的物体，在空中由静止开始下落，如果空气阻力为R=cv（其中C 为常数，v 为物体运动的速度，试求物体下落的距离s 与时间t 的函数关系。）
【答案】根据牛顿第二定律，
有关系式
方程成
为
得
于是
有
代入初始条件
积分
得
，得
得
并依据题设条件，
得初值问题
分离变量后积分。
代入初始条
件
故所求特解（即下落的距离与时间的关系）为
3． 求下列齐次方程的通解
（1）（2）（3）（4）（5）（6）
【答案】（1）当x>0时，可将原方程写成则原方程为
积分得将
，分离变量，得，即
代入上式并整理，得通解
，
令
，
即。
，即
，故通解为，令，积分得
。
，有
，积分得
, 令
，即，积分得，则原方程为
，即。 。
，令。
，即有，
（2
）原方程可表示成
，分离变量，得
积分，得将
代入上式，得
，
有，则原方程为
。 ，有。
，则原方程
（3）原方程可表示为为
将
，即
代入上式并整理，得通解
（4）原方程可写成令
，即
。
，即
。
分离变量，得将
代入上式并整理，得通解
（5）原方程可写成
。分离变量，得
将
代入上式，得通解（6）原方程可写成则原方程为整理并分离变量，得积分得
4． 已知函数f （x ）满足方程
（1）求表达式f （x ）
即
。
，有，则原方程成为，即
。令 ，即
，将及
，即，有。
。
代入上式，得通解
。
（2）求曲线的拐点
【答案】（1）特征方程
为
的通解
为可知
（2）曲线方程为
故则
特征根
为
再
由
齐次微分方
程
得
令
号。
当
时
，
可知
知曲
线
可知
是
可
知
当
时
，
得
为了说明
是
唯一的解，
我们来讨论
在
和
时的符
的唯一解，同时，由上述讨论可
在x=0左右两边的凹凸性相反，可知（0，0）点是曲
线
唯一的拐点。
二、计算题
5． 过点
（
）分别作平行于z 轴的直线和平行于xOy 面的平面，问在它们上面且平行于z 轴的直线l 上的点的坐标，其特点是，它们的横坐标均
的点的坐标各有什么特点?
【答案】如图所示，过相同，纵坐标也均相同.
而过点
且平行于xOy 面的平面上的点的坐标，其特点是，它们的竖坐标均相同
.
图
6． 设曲线L 的方程为
（1）求L 的弧长.
（2）设D 是由曲线L ，直线x=1，x=e及x 轴所围平面图形，求D 的形心的横坐标. 【答案】（1）
，代入弧长的公式，得
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