2017年伊犁师范学院数学基础之工程数学—线性代数考研复试核心题库
● 摘要
一、计算题
1． 设向量组B
:
线性表示为
无关的充要条件是矩阵K 的秩R （K ）=r.
【答案】方法一、记
于是
，则有B=AK.（2）
但K 含r 列，
有
即R （K ）=r，k 为列满秩矩阵.
必要性：设向量组B 线性无关，知R （B ）=r.又由B=AK，知充分性：设R （K ）=r.要证B 组线性无关. 由于
因此，向量组B 线性无关.
方法二、由（2）式，因R （A ）=S，A 为列满秩矩阵，则知R （_B）=R（K ）。于是B 组线
性无关
2． 设x 为n 维列向量.
【答案】对称性：正交性：
3． 已知
是矩阵
的一个特征向量
令
证明H 是对称的正交阵.
能由向量组A
:
，其中K
为
矩阵，且A 组线性无关. 证明B 组线性
（1）求参数a ，b 及特征向量P 所对应的特征值； （2）问A 能不能相似对角化? 并说明理由. 【答案】（1）利用特征值和特征向量的定义. 设P 所对应的特征值是A , 则由题设，
即
于是，得到以
为未知数的线性方程组：
（2）A 不能相似于对角阵. 理由是：
当
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时. 容易求得矩阵A 的特征多项式
故是A 的三重特征值. 但从而故齐次方程
没有3个线性无关的解. 于是，矩阵A 对应于特征值阵相似于对角阵的充要条件知，A 不能相似于一个对角阵. 4． 设
,
,
没有3个线性无关的特征向量. 由方
证明三直线
相交于一点的充要条件为向量组a ，b 线性无关，且向量组a ，b ，c 线性相关. 【答案】三直线有惟一解
相交于一点
非齐次方程
向量组a ，b 线性无关，且向量组a ，b ，c 线性相关.
5． 求作一个秩是4的方阵，它的两个行向量是（1, 0, 1, 0, 0），（1, -1, 0, 0, 0）.
【答案】因的秩为2, 故满足要求的方阵可以是
6． 设n 阶矩阵A ，B
满足
【答案】显然A 与B 的对应A 与B 有对应于
另一方面，
证明A 与B 有公共的特征值，有公共的特征向量. 则A 不可逆，0是A 的特征值；
同理，0也是B 的特征值，于是A 与B 有公共的特征值0.
的特征向量依次是方程Ax=0和Bx=0的非零解. 于是 的公共特征向量
另一方面. 由矩阵秩的性质
综上，A 与B 有公共的特征向量.
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7． 证明R （A ）=1的充分必要条件是存在非零列向量a 和非零行向量
【答案】先证充分性.
设按矩阵秩的性质，由于是R （A ）=1.
再证必要性. 设
并+妨设
因R （A ）=1.知A 的所有二阶子式均为零. 故对A 的任一元
即
，上式当i=k或j=l时也显然成立. 于是
有
，使
，知
并不妨设
另一方面，A 的（1，1）元
有
令
则因
8． 证明二次型
【答案】设又
另一方面，
取
并且二次型f 在处的值为
综合以上知
故
分别是非零列向量和非零行向量，且有在
时的最大值为矩阵A 的最大特征值.
为A 的n 个特征值，则有正交变换x=Qy，使
即
为第1个分量是1的单位坐标向量，再令
则
二、解答题
9． 已知A 是3阶矩阵，
（Ⅰ）写出与A 相似的矩阵B ; （Ⅱ）求A 的特征值和特征向量： （Ⅲ）求秩
【答案】（Ⅰ）由于
是3维线性无关列向量，且
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