2017年中南财经政法大学1079土地资源管理综合之高等数学复试实战预测五套卷
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一、解答题
1． 设有一质量为m 的物体，在空中由静止开始下落，如果空气阻力为R=cv（其中C 为常数，v 为物体运动的速度，试求物体下落的距离s 与时间t 的函数关系。）
【答案】根据牛顿第二定律，
有关系式
方程成
为
得
于是
有
代入初始条件
积分
得
，得
得
并依据题设条件，
得初值问题
分离变量后积分
代入初始条
件
故所求特解（即下落的距离与时间的关系）为
2． 质量为1g （克）的质点受外力作用作直线运动，这外力和时间成正比，和质点运动的速度成
2
反比，在t=10s时，速度等于50cm/s外力为4g ·cm/s，问从运动开始经过了一分钟后的速度是多
少？
【答案】设在时刻t ，质点运动速度为v=v（t ）。据题设条件，
有m=1, t=10, v=50, f=4，
得
。
代入条件：t=10, v=50, 得c=500，于是有特解当t=60（s ）时， 3． 计算
【答案】
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，且由，积分
得
，故有微分方
程，分离变
量，
，其中
4． 设
【答案】在算不方便，故令
，其中f 为可微函数，求
。
中，由于函数f 不是以单独一个字母作为自变量，从而造成计，得
，故
则
二、计算题
5． 下列各函数中哪些是周期函数? 对于周期函数，指出其周期:
（l ）（2）（3）（4）（5）
。
。
【答案】（l ）是周期函数，周期（2）是周期函数，周期（4）不是周期函数。 （5）是周期函数，周期
6． 计算下列二重积分
（1）域；
（2）（3）
，其中
。
（3）是周期函数，周期T=2。
，其中D 是顶点分别为和的梯形闭区
所围成的闭区域；
，其中D 是圆周
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（4）
，其中
。
【答案】（1）D 可表示为
，于是
（2）由于
（3）利用极坐标计算，在极坐标系中，有
于是
（4）利用对称性可知
，又
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故