2017年伊犁师范学院线性代数(同等学力加试)考研复试核心题库
● 摘要
一、计算题
1． 设
线性相关，
也线性相关，问
不一定线性相关.
向量组Ⅱ:线性无关.
化成标准方程.
，则这两向量组均线性相关，但
是否一定线性相关? 试举例说明之.
【答案】向量组例如令向量组∣:向量组
2． 求一个正交变换把二次曲面的方程
【答案】记二次曲面为f=l, 则f 为二次型，它的矩阵为
由
所以A 的特征值为对应于
解方程Ax=0, 由
得单位特征向量对应于特征值
解方程（A —2E ）x=0.由
得单位特征向量
对应于特征值
解方程（A-llE ）x=0.由
得单位特征向量令
则P 为正交阵，并且正交变换
即为所求，在此变换下，二次曲面的方程化为标准方程
3． 设3阶对称阵A 的特征值为与特征值A.
【答案】方法一：（1）求矩阵A 的对应于特征值由对称阵特征向量的性质知，
其系数矩阵
与和
都正交，即有
对应的特征向量为的两个线性无关的特征向量
求
的秩等于1. 于是，是它的一个基础解系，取其为
（2）把向量组用施密特方法正交化，得
（3）分别把向量令
，单位化，得
于是
则Q 为正交矩阵，并有
方法二：因A 是对称阵. 故必存在正交阵Q ，使也即
（1）并且，若Q 按列分块为
则向量是对应于特征值
位特征向量. 于是，由题设
的单
由⑴式得
于是
4． 设A ，B 都是n 阶对称阵，证明AB 是对称阵的充要条件是AB=BA.
【答案】因
5． 设
左乘所给方程两边，得
又，注意到
是可逆矩阵，且于是
6． 设AP=PA,
其中
求
故A 是可逆矩阵，用
故AB
为对称阵
，求B.
因此仍从公式
着手. 为此，用A
右乘上式两边，得
【答案】由于所给矩阵方程中含有A 及其伴随阵
【答案】因
故P 是可逆阵. 于是，由AP=PA得有因于是
是三阶对角阵，故
并且记多项式