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一、计算题

1． 设

是来自帕雷托

分布

的样本（

已知），试给出的充分统计量.

【答案】样本的联合密度函数为

令

取

或

都是的充分统计量.

由因子分解定理，

2． 验证:正态总体方差（均值已知）的共轭先验分布是倒伽玛分布.

【答案】设总体伽玛分布

，其密度函数为

则

的后验分布为

，其中

已知，

为其样本，取

的先验分布为倒

即

，这就证明了倒伽玛分布是正态总体方差

（均值已知）的共轭先验分布.

3． 掷一颗骰子4次，求点数6出现的次数的概率分布.

【答案】记X 为掷4次中点数6出现的次数，则X 的可能取值为0, 1，2, 3, 4. 由确定概率的

古典方法得

将以上结果列表为

表

1

由以上的计算结果也可以看出:出现0次6点的可能性最大.

4． 为考察某种维尼纶纤维的耐水性能，安排了一组试验，测得其甲醇浓度x 及相应的“缩醇化度”y 数据如下:

表

1

（1）作散点图； （2）求样本相关系数； （3）建立一元线性回归方程； （4）对建立的回归方程作显著性检验

.

【答案】 （1）散点图如图，y 有随着x 增加而增加趋势

.

图

（2）由样本数据可以算得

因此样本相关系数

（3）应用最小二乘估计公式，于是一元线性回归方程为

（4）首先计算几个平方和

将各平方和移入方差分析表，继续计算，可以得到

表

若取，查表知拒绝域为，

现检验统计量值落入拒绝域，因此在显著性水平0.01下回归方程是显著的. 此处， 回归方程显著性检验的p 值为（用Matiab 语句表示）

5． 某班级学生的考试成绩数学不及格的占

，语文不及格的占

，这两门都不及格的占

.

（1）已知一学生数学不及格，他语文也不及格的概率是多少？ （2）已知一学生语文不及格，他数学也不及格的概率是多少？ 【答案】记事件A 为“数学不及格”，B 为“语文不及格”，由题设知

.

由此得

（1）

6． 设随机变量X 与Y 独立同分布，其密度函数为

（1）求【答案】（1）

与

的联合密度函数的反函数为

变换的雅可比行列式

所以在

的可能取值范围

内，有

（2）以上的U 与V 独立吗？