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一、计算题

1． 证明二次型

【答案】设又

另一方面，

取

并且二次型f 在处的值为

综合以上知

2． n 阶对称阵的全体V 对于矩阵的线性运算构成一个以A 表示V 中的任一元素，变换换.

【答案】

由变换T 的定义，有

. 因此

，即T 是v 中的变换. 又

维线性空间. 给出卵阶可逆矩阵P ，

在

时的最大值为矩阵A 的最大特征值.

为A 的n 个特征值，则有正交变换x=Qy，使

即

为第1个分量是1的单位坐标向量，再令

则

称为合同变换. 试证明合同变换T 是V 中的线性变

由线性变换的定义，知T 是y 中的线性变换.

3． 计算

【答案】

记则原式=又

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故，

4． 已知3阶矩阵A 的特征值为1, 2, -3, 求

【答案】由特征值性质得A 的特征值时，阶方阵，

故

5． 设四元齐次方程组

是B 的特征值. 分别取

知A 可逆，并且

因为当

为

知-1，5, -5是B 的特征值. 注意到B 为3

求（1）方程组Ⅰ与Ⅱ的基础解系；（2）Ⅰ与Ⅱ的公共解. 【答案】（1）求方程组Ⅰ的基础解系：系数矩阵为

其基础解系可取为

求方程组Ⅱ的基础解系：系数矩阵为

故可取其基础解系为

（2）设即

为Ⅰ与Ⅱ的公共解，下面用两种方法求x 的一般表达式.

是方程组Ⅲ的解，这里方程组Ⅲ为Ⅰ与Ⅱ合起来的方程组

方法一、x

是Ⅰ与Ⅱ的公共解

其系数矩阵

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取其基础解系为，

于是Ⅰ与Ⅱ的公共解为

方法二、以Ⅰ的通解代入Ⅱ得

这表明Ⅰ的解中所有形如的公共解为

的解也是Ⅱ的解，从而是Ⅰ和Ⅱ的公共解. 于是Ⅰ和Ⅱ

6． 写出下列二次型的矩阵：

（1）

【答案】⑴记故f 的矩阵为

则

（2）与（1）相仿，

故f 的矩阵为

7． 设

是m 阶矩阵的特征值，证明也是n 阶矩阵BA 的特征值.

特征向量

有

【答案】根据特征值的定义证明.

设A 是矩阵AB 的任-非零特征值，是对应于它的特征向量. 即有用矩阵B 左乘上式两边，

得若再由

则由特征值定义知，为BA 的特征值. 下面证明.

式得

因此

事实上，由

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