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一、计算题

1． 设A 为

矩阵，

证明方程

有解

而

因此有解

2． 证明二次型

【答案】设又

另一方面，

取

并且二次型f 在处的值为

综合以上知

3． 设

问

是不是向量空间? 为什么？

【答案】（1）是向量空间, 理由是

①非空：则有因

故

那么

即

对向量加法不封闭.

②对于向量的加法和数乘封闭. 事实上，

所以方程 在

时的最大值为矩阵A 的最大特征值.

为A 的n 个特征值，则有正交变换x=Qy，使

即

为第1个分量是1的单位坐标向量，再令

则

含m 行，有

又

有解的充分必要条件是R （A ）=m.

【答案】方程

（2）不是向量空间. 事实上，取

． 用克拉默法则解下列方程组：

（1）

（2）

【答案】（1）

4

由克拉默法则，得

（2）

而

于是D=325-114=211;

=-19+180=161；

=5-114=-109