2017年广西师范大学线性代数(同等学力加试)考研复试核心题库
● 摘要
一、计算题
1． 求作一个秩是4的方阵，它的两个行向量是（1, 0, 1, 0, 0），（1, -1, 0, 0, 0）.
【答案】因的秩为2, 故满足要求的方阵可以是
2． 设向量组B
:
线性表示为
能由向量组A
:
，其中K
为
矩阵，且A 组线性无关. 证明B 组线性，则有B=AK.（2）
但K 含r 列，
有
无关的充要条件是矩阵K 的秩R （K ）=r.
【答案】方法一、记
于是
必要性：设向量组B 线性无关，知R （B ）=r.又由B=AK，知
即R （K ）=r，k 为列满秩矩阵.
充分性：设R （K ）=r.要证B 组线性无关. 由于
因此，向量组B 线性无关.
方法二、由（2）式，因R （A ）=S，A 为列满秩矩阵，则知R （_B）=R（K ）。于是B 组线
性无关
3． 证明对称阵A 为正定的充要条件是：存在可逆阵U ，使
【答案】充分性：若存在可逆阵U , 使处的值
即矩阵A 的二次型是正定的，从而由定义知.A 是正定矩阵. 必要性：因A 是对称阵，必存在正交阵Q , 使
其中
2, …, n 记对角阵从而
显然U 可逆，
并且由上式知
记
是A 的全部特征值. 由A 为正定矩阵，
故
任取
即A 与单位矩阵E 合同. 就有
并且A 的二次型在该
4． 函数集合在V 3中取一个基
的像，即可求得D 在上述基下的矩阵：
对于函数的线性运算构成3维线性空间.
求微分运算D 在这个基下的矩阵.
【答案】根据微分运算的规则，容易看出D 是中的一个线性变换，直接计算基向量在D 下
于是有
上式中等号右端的矩阵就是D 在上述基下的矩阵. 5． 设
求
【答案】把A 写成两个矩阵之和
其中三阶矩阵
于是
满足
6． 设n 阶矩阵A ，B
满足
【答案】显然A 与B 的对应A 与B 有对应于
另一方面，
证明A 与B 有公共的特征值，有公共的特征向量. 则A 不可逆，0是A 的特征值；
同理，0也是B 的特征值，于是A 与B 有公共的特征值0.
的特征向量依次是方程Ax=0和Bx=0的非零解. 于是 的公共特征向量
另一方面. 由矩阵秩的性质
综上，A 与B 有公共的特征向量.
7． 问取何值时，齐次线性方程组
【答案】若方程组有非零解，它的系数行列式
D=0
有非零解？
故当
时
，
均是该方程组的非零解. 所以当
或
或
并且不难验证：
当
时
，
时方程组有非零解.
当
时
，
8． 求下列矩阵的秩，并求一个最高阶非零子式：
（1）
（2）
（3）
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