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一、计算题

1． 设矩阵

【答案】先求x ，y :

因得y=l+x.

因由

再求正交阵P. 对应

解方程（A-5E ）x=0，由

得基础解系

把它们正交化、单位化，得

对应于

解方程（A+4E）x=0, 由

得单位特征向量

是A 的特征值，有

与

相似，求x , y ; 并求一个正交阵P ，使

相似，故A 的特征值是5，-4，y , . 由特征值性质：

5+（-4）+y=A的特征值之和=A的对角元之和=2+x.

得x=4.再代入y=l+x，得y=5.于是A 的特征值为

则P 是正交阵，且有

2． 写出四阶行列式中含有因子位于第2列和第4列，即

此行列式中含有的项为

3． 设四元齐次方程组

和

或

的项. 和

注意到排列1324与1342的逆序数分别为1与2, 故

【答案】由行列式定义知这项必还含有分别位于第3行和第4行的某两元素，而它们又分别

求（1）方程组Ⅰ与Ⅱ的基础解系；（2）Ⅰ与Ⅱ的公共解. 【答案】（1）求方程组Ⅰ的基础解系：系数矩阵为

其基础解系可取为

求方程组Ⅱ的基础解系：系数矩阵为

故可取其基础解系为

（2）设即

为Ⅰ与Ⅱ的公共解，下面用两种方法求x 的一般表达式.

是方程组Ⅲ的解，这里方程组Ⅲ为Ⅰ与Ⅱ合起来的方程组

方法一、x

是Ⅰ与Ⅱ的公共解

其系数矩阵

取其基础解系为，

于是Ⅰ与Ⅱ的公共解为

方法二、以Ⅰ的通解代入Ⅱ得

这表明Ⅰ的解中所有形如的公共解为

的解也是Ⅱ的解，从而是Ⅰ和Ⅱ的公共解. 于是Ⅰ和Ⅱ

4． 写出下列二次型的矩阵：

（1）

【答案】⑴记故f 的矩阵为

则

（2）与（1）相仿，

故f 的矩阵为

5． 利用对角线法则计算下列三阶行列式：

（1）