2017年湖北师范大学工程数学复试仿真模拟三套题
● 摘要
一、计算题
1． 求一个齐次线性方程组，使它的基础解系为
【答案】设所求齐次线性方程为Ax=0
记
. 那么
是方程AX=0的基础解系
AB=0, 且R （A ）
=2
, RR （At ）
=2
的两个列向量是由
得基础解系为故A 可取为
对应齐次线性方程组为
2． 设
左乘所给方程两边，得
又，注意到
是可逆矩阵，且于是
3． 已知线性变换
求从变量【答案】记
到变量
，
的线性变换.
，则线性变换的矩阵形式为x=Ay，其中A 为它的
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，
的一个基础解系（因R （B ）=2）。
，求B.
因此仍从公式
着手. 为此，用A
右乘上式两边，得
【答案】由于所给矩阵方程中含有A 及其伴随阵
故A 是可逆矩阵，用
系数矩阵. 因性变换的矩阵形式为
又，
故A 是可逆阵，于是从变量到变量的线
于是即
4． 验证
并把【答案】因
，
，为的一个基，
用这个基线性表示.
据此可知，
用此基线性表示式为
5． 判定下列二次型的正定性：
（1）（2）
【答案】（l ）f 的矩阵
它的1阶主子式
3阶主子式，即（2）f 的矩阵
2
阶主子式
从而
，
故
是
一个基；
则知f 为负定二次型.
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它的1阶主子式1>0; 2阶主子式
知f 为正定二次型. 6． 设
，3阶主子式，即则
（1）求一个可逆阵P ，使PA 为行最简形； （2）求一个可逆阵Q ，使QA T 为行最简形. 【答案】⑴
于是
（2）
且
为A 的行最简形；
于是
并且
7． 设
为
的行最简形.
为正定二次型，求a.
【答案】用赫尔维茨定理, 对f 的矩阵A 进行讨论
A 正定
由
且由
合起来，当
时，A 正定，从而f 正定.
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