2016年西华师范大学物理与空间科学学院高等数学(同等学力加试)复试笔试仿真模拟题
● 摘要
一、计算题
1． 设在xOy 面内有一分布着质量的曲线弧L ，在点（x ，y ）处它的线密度为（x ，y ）. 用对弧长的曲线积分分别表达:
（1）这曲线弧对x 轴、对y 轴的转动惯量I x ，I y ； （2）这曲线弧的质心坐标
。
，【答案】（l ）设想将L 分成n 个小弧段，取出其中任意一段记作ds （其长度也记作ds ）（x ，y ）为ds 上一点，则ds 对x 轴和对y 轴的转动惯量近似等于
以此作为转动惯量元素并积分，即得L 对x 轴、对y 轴的转动惯量
（2）ds 对x 轴和对y 轴的静矩近似等于
以此作为静矩元素并积分，即得L 对x 轴、对y 轴的静矩
从而L 的质心坐标为
2． 下列计算是否正确，试说明理由:
（1）
（2）因为（3）
【答案】（1）不对，因为
，所以
；
在[-1, 1]上有间断点x=0，不符合换元法的要求，积分一定为
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正，因此该积分计算不对。事实上，
（2）不对，原因与（1）相同，事实上，
（3）不对，因为发散，也就得到
3． 判定下列曲线的凹凸性:
【答案】（1）（2）当当（3）（4）故曲线
4． 求圆盘
绕
，，
内是凹的。
旋转所成旋转体的体积。
，，
，，
围城的图形绕围城的图形绕
旋转所得旋旋转所得
时,
, 曲线
在故曲线
令y”=0, 得x=0。
上是凸的。 上是凹的。
, 故曲线
在
内是凹的。 ,
时, y”>0, 曲线y=shx在,
内是凸的
发散。
，当
时极限不存在，故
【答案】记由曲线转体的体积为V 1，由曲线
旋转体的体积为V 2，则所求体积为
5． 说明下列旋转曲面是怎样形成的：
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【答案】
的旋转曲面，或表示xOz 面上的椭圆
表示xOy 面上的双曲线
面，或表示yOz 面上的双曲线
表示xOy 面上的椭圆
绕x 轴旋转一周而生成
绕x 轴旋转一周而生成的旋转曲面
.
绕y 轴旋转一周而生成的旋转曲
绕y 轴旋转一周而生成的旋转曲面
.
绕x 轴旋转一周而生成的旋转曲
表示xOy 面上双曲线
面，或表示xOz 面上双曲线
绕x 轴旋转一周而生成的旋转曲面
表示xOz 面上直线z=x+a或z=﹣x+a绕z 轴旋转一周而生成的旋
转曲面，或表示yOz 面上的直线z=y+a或z=﹣y+a绕z 轴旋转一周而生成的旋转曲面.
6． 设薄片所占的闭区域D 如下，求均匀薄片的质心：
（1）D 由
（2）D 是半椭圆形闭区域（3）D 是介于两个圆【答案】（1）设质心为
。
所围成；
之间的闭区域。
于是
故所求质心为
。
必位于y 轴上，于是
。
（2）因D 关于y 轴对称，故质心
因此所求质心为
。
位于x 轴上，于是
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（3）因D 关于x 轴对称，故质心（图）。