当前位置：问答库＞考研试题

一、证明题

1． 利用条件极值方法证明不等式

【答案】取目标函数拉格朗日函数为

, 约束条件为

.

对L 求偏导数, 令它们等于0, 则有

解方程组易得稳定点是

为了判断并把目标函数

看作

是否为所求条件极值, 可把条件与

的复合函数F （X , y ）. 于是

当

时,

由此可得稳定点为极大值点, 即有不等式

即

2． 设

证明:【答案】因

在有界闭区域D 内有二阶连续的偏导数, 有的最大值、最小值只能在区域的边界上取得. 在界闭区域D 上连续, 故由连续函数的最值性知

在D 上一定可取得

处

在D 的内部不能取得极值, 这里只需证明在D 内任何点

第 2 页，共 33 页

看作隐函数

最大值和最小值, 下证

即可.

设即所以故

而

不可能在D 内部取得极值,

的最大值和最小值只能在D 的边界上取得. 证明g 为连续函数.

, 则

上

时, . 对于任给的;

设

即当

, 存在,

由

,

使得当知g 由保不等式故g （x ）在

. 对D 内任何点（x , y ）, 由于故

3． 设函数f 只有可去间断点, 定义

【答案】设g 的定义域为D ,

时

,

（x ）的值由f （y ）在邻域性和

得

即

的值决定, 而在

x 0连续. 由x 0的任意性知, g （x ）在D 上连续.

4． 证明:曲面上任意一点的切平面都与某一定直线平行, 其中函数F 连续可微, 常数a , b , c 不同时为零.

【答案】记

则

于是曲面

n 与某直线方向向量或

于是当l 1, l 2, l 3 满足

5． 设

时恒有

取1=（b , c , a ）,

上任一点的法向量为

垂直当且仅当

即

则曲面 F （ax —bz , ay—cz ）=0 上任一点的切平面与l 平行.

为单调数列. 证明:若,

则

时

,

假设,

使综上, 若

无界,

则

存在聚点, 则必是惟一的, 且为

中含有无穷多个中只能含有即任给

按上确界定义知有聚点, 必惟一, 恰为

的确界.

.

令

,

则当

【答案】

设是一个单调递增数列.

假设,

于是

是它的两个不相等的聚点,

不妨设

中的点,

设

中有穷多个点, 这与是聚点矛盾. 因此, 若

0, 按聚点的定义

,

存在聚点, 则必是惟一的.

存在正整数N , 当n>N时,

有界. 对任给的

, 的确界.

第 3 页，共 33 页

, 于是小于M 的只有, 由聚点定义,

必存在

有限项, 因此不可能存在聚点, 这与已知题设矛盾,

故

二、解答题

6． 求下列曲面在所示点处的切平面与法线:

（1）（2）

【答案】（1）令故切平面方程为

﹣2（x －l ）+（y －）+（z －2）=0,

法线方程为

（2）令

则

故切平面方程为

即

法线方程为

7． 己知

为三维空间中的有界区域,

的边界为分段光滑的曲面,

于是有

为外法向量, u （x , y , z ）在

在点（1, 1, 2）

在点

, 则

上连续可偏导. 求证

:【答案】不妨设

8． 设

（1）gradr （2）（2）设

第 4 页，共 33 页

试求

得

得

则

【答案】（1）由