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一、证明题

1． [1]设函数f （x ）在[a, b]上连续, 在（a , b ）内可微, 又f （x ）不是线性函数. 证明:使

[2]设f （x ）在[0, 1]上可导, 且内存在一组互不相等的数

使得

为n 个正数. 证明在区间[0, 1]

.. ,

【答案】过点（a , f （a ））与（b , f （b ））的直线方程为

9

=f=f. 由于f , g 显然, g （a ）（a ）（b ）（b ）（x ）不是线性函数, 故存在点不妨设

, 则有

由拉格朗日中值定理,

时, 有

, 使

[2]用上例的思路来证明之. 令

以及

显然可以求得一点

又可求得一点

使得

在每一个小区间

使使

. 取.

再在. 总之, 我们有

上, 对f （x ）应用拉格朗日中值定理, 存在

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, 使.

和, 使

, 取,

取

; .

当

于是, 总存在

当f （a ）>f（b ）时, 有

在[0, 1]上对f （x ）应用介值定理,

上对f （x ）应用介值定理,

.

, 使得

. 如此下去, 可以求出

即

亦即

将上式对i 从1到n 求和, 可得

2． 证明:（1）若函数f （X ）, g （x ）连续, 则函数

也连续;

（2）设

令函数f 的值f （x ）等于三值证明:f 在[a, b]上连续; （3）令

f （X ）为实函数.

证明:f （X ）连续的充要条件是【答案】（1）因为

又因为函数f （x ）, g （x ）连续, 所以

.

也连

续.

（2）由题意知,

由（1）的结论得（3）

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,

在[a, b]上连续,

中介于其他二值之间的那个值.

对任意固定的n , 都是X 的连续函数.

也连续,

由连续函数的运算性质知

:连续, 并且已知

在[a, b]上连续, 故由连续函数的运算性质知f （x ）在[a, b]上连续.

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由连续函数的运算性质, 即知它们都连续

.

3．

设D （x ）为狄利克雷函数,

【答案】令和无理数

在

. 4．

设f

在点证明:

【答案】由于

所以

而

使得

对任意的

证明:

不存在.

中存在有理数

不存

.

由有理数和无理数的稠密性可知, 在, 于是

. 根据柯西准则

,

可微

, 且在P0给定了

n 个向量, 相邻两个向量之间的夹角为,

故

5． 设f （X ）在I

上可微, 且对x>l满足

证明:【答案】记

. , 则

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