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一、证明题

1． 证明:含参量反常积分收敛.

【答案】 （1）令

有

根据定义,

.

取

有

（2）取

, 对于任意N>1,

取

, 使得

故

2． 设

射; （2）证明:f 在

【答案】（1）因为

所以

由于（2）对于

, 故在R 上f 不是一一映射.

当且仅当

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2

在上一致收敛（其中）, 在内不一致

在内不一致收敛. , （1）证明:当

时, <

.

, 但在R 上, f 不是一一映

2

上是一一映射, 并求

即

且

故一一映射, 由

有

根据定理有

3． 设f （x ）在[a, b]上二阶可导, 且

. 证明

:

【答案】由已知条件可知, f （x ）是

[a,

b]上的严格凹函数

. 设则必有

, 有

对上式两边在[a, b]上积分

, 可得:

由于

从而, 对任意的

4． 设数列

证明:（1

）若（2）若

, 有

满足:

有界, 则

也有界;

有界知, 存在M0, 使得

, 由递推关系式可知,

收敛, 则

也收敛.

, 则

>0.由凹函数的性质,

对任意的

是f （x

）的最大值点,

, 当且仅当

, 且

, 因此f 在D 上是

【答案】（1）由己知条件

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，共 32

页

由此可知

,

（2

）设

有界.

, 则

当nN 1时, 有

即

对上述

故

. 当nN 时, 可使

, 从而, 当nN 时, 有.

于是有

二、解答题

5． 设

（2）求【答案】（1）即当n=0时, 原命题成立. 对

即

（2）把x=0代入等式又因为

, 所以

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页

.

； , 故

两边求n 阶导数, 得

, 故当

时, 原命题成立. 得

,

,

.

（

1）证明y 满足方程