2018年江苏师范大学数学与统计学院647数学分析考研核心题库
● 摘要
一、证明题
1． 证明定理g （x ）满足:
（i ）
（ii ）f （x ）, g （x ）在（iii ）
. 的某邻域
或
内可导. 且）, 则
【答案】作变换
, 则
时.
, 于是
由于
,
在
内满足定理的条件, 所以
故
2． 己知在[a, b]上，函数列f n （x ）一致收敛于f n （x ），函数列g n （x ） 一致收敛于g （x ）.
证明：函数列【答案】由
，
一致收敛于
.
在I 上分别一致收敛于f （X ），g （x ）, 可得
在I 上分别一致收敛于
又
故
在I 上一致收敛于
；
（A 可为实数, 也可为
,
情形时的洛必达法则. 要证的命题是:若函数f （x ）和
3． 用有限覆盖定理证明根的存在定理, 即设f （X ）在闭区间[a, b]上连续, 且f （a ）f （b ）<0, 则存在（a ,
b ）,
使得
,
, 使
得
, 它构成了[a, b]的将区间[a, b]覆盖,
有
.
内有界
, 并满足内有上界M. 限制
,
矛盾.
【答案】
用反证法假设
不妨设f （x ）>0.由f （x ）在[a, b]上的连续性,
, 均有一个开覆盖.
由有限覆盖定理, 存在H 中有限个互不相交的开集即
, 且
注意到k 是有限个, 所以f （x ）在[a, b]上每一点的函数值都同号, 这与因此存在（a , b ）, 使得
4．
设函数f 定义在证明:
则有
由
得
. 于是
再根据
5． 设
得:
在[a, b]上逐点收敛且具有性质：
在[a, b]上一致收敛.
在[a, b]上是等度一致连续的，又在[a, b]上一致收敛.
在有限闭区间[a, b]上连续，，则
在[a, b]上连续；
让取遍[a, b]可得一个开集
上, f
在每一个有限区间
,
在区间
.
【答案】设正整数
且时，
有.
用有限覆盖定理证明
即由Osgood 定理，得
【答案】由题设条件，知（Osgood 定理）设函数列如果（1）
在[a, b]上逐点收敛，
在[a, b]上等度连续，
（2）答: （1）由对令（2）由
使得当由于且
，
在[a, b]上一致收敛于
当
.
时，不等式
，由此得
句上连续；
， ，使得当
在[a, b]上等度连续，得
对所有n=1, 2, …成立；
取极限得，
，
时，有
，n>Nx 时，
有
；对于任意的.
，
在x 处连续及[a, b]上等度连续，必存在
于是这些区间的并
构成[a, b]的一个开覆盖，即
令
，对任意
必存在
），使得
，对一切
上一致收敛.
成立.
中的某个开区间（
，当n>N时，有
于是，当n>N时，这就说明了
二、解答题
6． 设
在平面上二次连续可微
,
；
.
（1）用u 关于r , 的偏导数表沄
（2）用u 关于r , 的一、二阶偏导数表示【答案】 （1）（2）
7． 验证下列等式, 并与（3）、（4）两式相比照
（1）