当前位置：问答库＞考研试题

一、证明题

1． 设a , b , A是均不为零的有限数, 证明

【答案】因为

当

时

先证必要性. 由所以

（当

且

再证充分性. 因为

故

因此有

所以

2． 设函数f 在（a , b）上连续, 且

（1）f 在（a , b ）内有界； （2）若存在

, 使得

, 则f 在（a , b ）内能取到最大值；

（3）f 在（a , b ）上一致连续.

第 2 页，共 34 页

的充分必要条件是

:

故

时）,

与为有限值. 证明:

【答案】（1）令

因为f 在（a , b ）连续, 所以F （x ）在[a, b]连续. 因此F （x ）在[a, b]上有界, 所以F （x ）在（a , b ）上亦有界, 即f 在（a , b）上有界.

（2）因为F （x ）在[a, b]上连续, 所以F （x ）在[a, b]上能取到最大值. 又因为

, 使

, 即

. 所以F （x ）在

[a, b]上的最大值可以在（a , b ）内取得, 即f （x ）在（a , b ）内能取到最大值.

（3）由（1）知F （x ）在[a, b]上连续, 所以F （x ）在[a, b]上一致连续. 显然f （x ）在（a , b ）上一致连续.

3． 分别用确界原理及区间套定理证明:若f （x ）在[0, 1]上单调递增, 且f （0）>0, f （1）<1,

则记间套

,

若在分点处有g （x ）=0, 则结论成立, 否则g （x ）在每个区间由区间套定理, 存在唯一的

4． 用定义证明:（1）若

（2）若

, 则, 则

|.

【答案】（1）由固定,

当

时, 有

其中

, 上述

, 当

时, 有

从而

第 3 页，共 34 页

, 使得, 则

.

, 则S 是非空有界数集.

, 则g （0）<0, g （1）>0.利用二等分法构造区

的端点处函数值异号, ;

,

往证

（反证法）.

【答案】（1）利用确界原理证明:构造数集, （2）利用区间套定理证明:

设

, 往证

知

, , 当

时, 有

,

对固定的而言, 它是一个确定的常数. 故对

（2）令, 则当时, 于是

由（1）知, 上式的第二、三项趋向于零. 下证第四项极限也是零. 事实上, 由

知,

有界, 即存在M0, 使

故

从而（2）的极限是ab.

二、解答题

5． 确定下列幂级数的收敛域, 并求其和函数:

（1）（2）（3）（4）

【答案】（1）设

则

, 收敛半径R=﹣l. 当x=1时级数

发散, x=-l

时级数

也发散, 所以收敛域为（﹣1, 1）.

设

, 则

故

（2）设

当

则

时, 原级数可化为级数

故收敛半径

其中

又

故

第 4 页，共 34 页

发散, 故原级数的收敛域为